Serie...

[domenicosardisco]

buona sera a tutti!
Data la seguente serie: $\sum_{n=1}^\infty (sen(1/n))/log(1+1/n)$ essa diverge perchè intanto il limite del termine generale per n che tende a infinito fa 1 quindi non può convegere; inoltre ha lo stesso carattere della serie armonica che diverge perchè localmente equivalenti... confermate?
grazie!

[Seneca1]

"nicknumberten":buona sera a tutti!
Data la seguente serie: $\sum_{n=1}^\infty (sen(1/n))/log(1+1/n)$ essa diverge perchè intanto il limite del termine generale per n che tende a infinito fa 1 quindi non può convegere;

Va bene, non converge.

"nicknumberten":inoltre ha lo stesso carattere della serie armonica che diverge perchè localmente equivalenti..

No, questo non è vero. Piuttosto osserva che si tratta di una serie a termini ___ e che quindi, se non converge, deve per forza ___ .

[domenicosardisco]

a termini positivi? quindi deve per forza divergere?

[Seneca1]

Sì..

[domenicosardisco]

ok grazie! ho il dubbio su un'altra: $\sum_{n=1}^\infty (tan(1/n))/(n^2 log(1+1/n))$ non capisco che ragionamento fare... mi potresti dare una mano?

[Seneca1]

"nicknumberten":ok grazie! ho il dubbio su un'altra: $\sum_{n=1}^\infty (tan(1/n))/(n^2 log(1+1/n))$ non capisco che ragionamento fare... mi potresti dare una mano?

A differenza di prima il termine generale è infinitesimo. Io ti consiglio di valutare l'ordine di infinitesimo della funzione:

$f(x) = ( x^2 * tan(x))/( log( 1 + x ) )$ per $x -> 0$ rispetto all'infinitesimo campione $x$ (avendo posto $x = 1/n$).

[domenicosardisco]

quindi l'ordine di infinitesimo è 2...allora la serie ha lo stesso carattere di quella armonica=$1/n^2$ quindi converge...

[Seneca1]

Esatto.

[domenicosardisco]

grazie ancora!