Serie

[telerino]

Ragazzi qualche suggerimento per questa serie, bisogna studiarne il carattere:

$\sum_{n=0}^\infty ((n^2 +n)/(n^2 +n +1))^(n^3 +1)$

ho provato ad applicare il criterio della radice e risulta:

$\lim_{n \to \infty} ((n^2 +n)/(n^2 +n +1))^(n^2 +1/n)$

$\lim_{n \to \infty} ((n^2 +n)/(n^2 +n +1))^(n^2) * ((n^2 +n)/(n^2 +n +1))^(1/n)$

$\lim_{n \to \infty} ((n^2 +n)/(n^2 +n +1))^(n^2) * \lim_{n \to \infty} ((n^2 +n)/(n^2 +n +1))^(1/n)$

wolfram alpha mi dice che il limite fa 1/e: http://www.wolframalpha.com/input/?i=li ... %29%2Fn%29

facendo: $\lim_{n \to \infty} e^(n^2 *log((n^2 +n)/(n^2 +n +1))) * \lim_{n \to \infty} e^(1/n *log((n^2 +n)/(n^2 +n +1)))$

il secondo limite riesco a risolverlo e viene $\ e^0$ ma il primo (che dovrebbe venire $\e^-1$) proprio non riesco a risolverlo...suggerimenti per andare aventi?idee alternative?

[Quinzio]

"Telemaco Rino":Ragazzi qualche suggerimento per questa serie, bisogna studiarne il carattere:

$\sum_{n=0}^\infty ((n^2 +n)/(n^2 +n +1))^(n^3 +1)$

Si può provare così:
$\sum_{n=0}^\infty ((n^2 +n+1-1)/(n^2 +n +1))^(n^3 -1+2)$

$\sum_{n=0}^\infty (1-1/(n^2 +n +1))^((n -1)(n^2+n+1)+2)$

$\sum_{n=0}^\infty (1-1/(n^2 +n +1))^((n -1)(n^2+n+1))(1-1/(n^2 +n +1))^2$

$\sum_{n=0}^\infty ((1-1/(n^2 +n +1))^((n^2+n+1)))^(n-1)(1-1/(n^2 +n +1))^2$

eccetera