Serie

[caron901]

Si ponga $ xgeq 2 $ ,

f(x)= $ 1 / (x(logx)^2) $

a)Si provi che f è integrabile in senso generalizzato in $ [2,+ infty [ $
Facendo i calcoli mi viene $ 1 / log2 $ giusto?
b) Si dimostri che la serie $ sum_(n = 2)^(+infty) f(n) $ è convergente.

Come devo fare a risolvere il punto b)?grazie in anticipo!

[girdav]

Non ho verificato per la prima domanda ma mi sembra giusto. Riguardo alla seconda, puoi utilizzare $f(n)\leq \int_{n-1}^nf(t)dt$ ($f$ è decrescente) e il fatto che l'integrale $\int_2^{+\infty}f(t)dt$ converge.

[regim]

Non hai bisogno di dimostrarlo esplicitando la serie, perche' se parti dalla definizione di integrale improprio e considerando che hai una funzione monotona decrescente tendente a zero, e considerando una proprieta' dell'integrale quando si tratta di valutarlo sull'unione di insiemi disgiunti, e tenendo presente che il carattere di una serie non muta per l'esclusione di alcuni termini iniziali, puoi dimostrare in modo del tutto generale la proprieta' b) a partire dalla a) e viceversa. Anzi, ti conviene proprio il viceversa in questo caso. ciao

edit- Se sostituisce $n$ al posto della $x$ nell'espressione della funzione, hai poi una serie che potrai riconoscere facilmente convergente se adotti il citerio di condensazione di cauchy.