Serie

[Pierpaoli1]

Ciao a tutti, ho bisogno di trovare quanto vale la seguente serie:
[tex]\sum_{n=0}^{+\inf}\frac{x^n}{n!(n+1)!}[/tex]
e non ho la minima idea di come fare. Qualcuno può aiutarmi?

[gugo82]

Provato a spezzare in somma la frazione \(\frac{1}{n! (n+1)!}\)?

[Pierpaoli1]

Cosa intendi per spezzare la frazione? Non sono molto pratico potresti darmi qualche dettaglio in più?

[gugo82]

Se al numeratore aggiungi e sottrai \(n\) che succede?

[Pierpaoli1]

non mi sembra sia di qualche utilità

[gugo82]

"Pierpaoli":non mi sembra sia di qualche utilità

In effetti hai ragione, ho risposto un po' di fretta...
Dovevo accorgermi che la somma di quella roba lì non è una funzione elementare!

Infatti la somma di \(\sum 1/(n!\ (n+1)!)\ x^n\) contiene una funzione di Bessel modificata.

Vediamo come si procede.
Ricordo innanzitutto che la funzione di Bessel modificata di prima specie d'indice \(\nu\) è la funzione \(\text{I}_\nu\) definita per mezzo dello sviluppo in serie di MacLaurin (convergente ovunque):
\[
\tag{1} \text{I}_\nu (z) = \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{n!\ \Gamma (n+\nu +1)}\ \left( \frac{x}{2}\right)^{2n+\nu}
\]
ove \(\Gamma (\cdot)\) è la funzione gamma di Eulero.
Ricordato anche che \(\Gamma (n+1)=n!\) (questa è una relazione fondamentale per la gamma) abbiamo quindi:
\[
\begin{split}
\sum_{n=0}^\infty \frac{1}{n! (n+1)!}\ x^n &= \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{n!\ \Gamma (n+2)}\ ( \sqrt{x} )^{2n}\\
&= \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{n!\ \Gamma (n+\underbrace{1}_{=\nu}+1)}\ (\sqrt{x} )^{2n}
\end{split}
\]
e, posto \(\nu =1\) come suggerito dall'argomento della \(\Gamma (\cdot)\), per ricondurci allo sviluppo (1) basta moltiplicare e dividere per \(\sqrt{x}\): infatti, così facendo troviamo:
\[
\begin{split}
\sum_{n=0}^\infty \frac{1}{n! (n+1)!}\ x^n &= \frac{1}{\sqrt{x}}\ \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{n!\ \Gamma (n+1+1)}\ (\sqrt{x} )^{2n +1}\\
&= \frac{1}{\sqrt{x}}\ \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{n!\ \Gamma (n+1+1)}\ \left( \frac{2\sqrt{x}}{2} \right)^{2n +1}\\
&= \frac{1}{\sqrt{x}}\ \text{I}_1 \left(2\sqrt{x}\right)\; ,
\end{split}
\]
che è quanto volevamo.

[Pierpaoli1]

Grazie per l'aiuto. Non avevo mai sentito parlare di funzione di Bessel però, documentandomi su internet, sono riuscito a trovare la seguente formula:
[tex]I_1(x)=\frac{1}{\pi}\int_0^\pi e^{x\cos(\theta)}\cos(\theta)d\theta[/tex]
Quindi per avere la soluzione del problema manca solo calcolare questo integrale. Ho fatto un paio di tentativi ma non ne sono (di nuovo ) venuto a capo. Qualche aiutino?

[gugo82]

Come ho detto, la funzione di Bessel \(\text{I}_1\) è una funzione non elementare: ciò significa che non si può esprimere in nessun modo attraverso somme, prodotti e composizioni di funzioni elementarissime come potenze, seni e coseni, esponenziali o logaritmi.
Insomma, una riscrittura più semplice di \(1/\sqrt{x}\ \text{I}_1 (2\sqrt{x})\), che ti consenta di fare i conti a mano, non la puoi trovare.

L'unico modo per calcolare il valore della somma per un fissato valore di \(x\) è ricorrere a qualche software numerico (ad esempio Mathematica o Wolfram Alpha).

[Pierpaoli1]

Ho capito, grazie dell'aiuto.