Serie

[Pennarosa]

ho calcolato le somme di alcune serie e vorrei sapere se sono giuste,qualcuno mi può confermare? Allora:
$\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{2n(2n+2)}$, $s=1/4$;
$\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{(2n-1)(2n+1)}$, $s=1/2$;
$\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n(n+3)}$, $s=1/3$;
$\sum_{n=1}^\infty\frac{3^n+4^n}{12^n}$, $s=17/6$.
Inoltre non riesco a calcolare la somma di questa serie:
$\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n(n+1)(n+2)}$...

[MrMeaccia]

CIao!
Per controllare se i calcoli sono giusti uso spesso questo sito
http://www.wolframalpha.com/input/?i=sum
Sono tutti giusti tranne il terzo, che è un esercizio sostanzialmente uguale all'ultimo che hai scritto..per calcolare la calcolare la somma ho scomposto la frazione $1/(n(n+1)(n+2))$ in $A/n+B/(n+1)+C/(n+2)$ in modo da evidenziare il fatto che è una serie telescopica.. una volta che trovi i valori dei vari coefficienti A,B,C puoi scrivere la successione $S_n$ e poi trovi la somma !

[Pennarosa]

ho fatto così e non mi riesce....

[MrMeaccia]

ti scrivo i miei passaggi:
$a/n +b/(n+1)+c/(n+2)= (a(n+1)(n+2) +b(n+2)n +c(n+1)n)/(n(n+1)(n+2))$
considerando solo il numeratore ottengo : $n^2 (a+b+c ) +n(3a + 2b+c) +(2a) $
poi risolvo il sistema
$ { ( a+b+c =0 ),( 3a+2b+c =0 ),( 2a =1 ):} $
a me è venuto $a=1/2 , b=-1 , c=1/2$.
Ora riscrivo la serie $ sum_(n = 1)^(oo ) 1/(n*(n+1)*(n+2)) = sum_(n = 1)^(oo ) 1/2*1/n-1/(n+1)+1/2*1/(n+2) $.
Si vede bene che è una serie telescopica.. scrivendo le somme parziali per qualche n si vede che
$S_n = 1/2*(1/2 -1/(n+1) - 1/(n+2)) $ per arrivare a questo risultato, ho scritto la successione Sn fino a n=5....
La somma della serie è uguale al $lim _(n-> oo) S_n = 1/4$.

[Pennarosa]

ok grazie!!