Serie

[ciuf_ciuf]

La serie è

$ sum e^(-nx)/(sqrt(nx)+1) $

si chiede di provare che

1) converge puntualmente in $ ]0, + oo[ $
2) converge uniformemente in $ [1, + oo[ $
3) non converge uniformemente in $ ]0, + oo[ $

Per la convergenza puntuale non ci sono problemi infatti basta utilizzare il criterio del rapporto per trovare la condizione x > 0.

Per la (2) ho pensato di fare

sup$ |f_n| = lim_(x -> 1) e^(-nx)/(sqrt(nx)+1) = e^(-n)/(sqrt(n)+1) $ dimostrando che quest'ultima converge e quindi vi è convergenza totale e anche uniforme in $ [1, + oo[ $ .

Per la (3) invece ho calcolato

$ lim_(n -> +oo) e^(-nx)/(sqrt(nx)+1) = 0 $

$ lim_(n -> +oo) f_n(0) = 1 $

quindi essendoci discontinuità non può esserci convergenza uniforme.

Sono giusti come ragionamento o ho sbagliato qualcosa ? Grazie.

[AMs1]

Sì, è ok.
Al massimo il punto 3) l'avrei dimostrato diversamente:
se per assurdo convergesse uniformemente in $(0,+oo)$ allora convergerebbe anche in $[0,+oo)$ ... ma da come hai dimostrato tu al punto 3), in zero l'argomento della serie non è infinitesimo e quindi è assurdo

[Gauss Green]

Gauss Green rulez

[dissonance]

[mod="dissonance"]@Gauss Green: Smetti di inserire post senza senso. Scrivi solo se vuoi aggiungere qualcosa di significativo alla discussione.[/mod]

[ciuf_ciuf]

"AMs":Sì, è ok.
Al massimo il punto 3) l'avrei dimostrato diversamente:
se per assurdo convergesse uniformemente in $(0,+oo)$ allora convergerebbe anche in $[0,+oo)$ ... ma da come hai dimostrato tu al punto 3), in zero l'argomento della serie non è infinitesimo e quindi è assurdo

Va bene, grazie !