Serie
Salve ragazzi, avrei qualche problema con la seguente serie (esercizio d'esame) da studiare al variare di $x in RR$:
$sum_{n=1}^\infty\frac{2^((n+1)x)}{n*2^(nx^2)}$
La serie può essere scritta anche come $sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n*2^(nx^2-nx-x)}=sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n*2^(x(nx-n-1))}$.
A questo punto non riesco a capire quale criterio si possa applicare per determinarne la convergenza e/o la divergenza, al variare di $x in RR$. Separando i due fattori otteniamo il prodotto di una serie armonica divergente positivamente ($sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n}$) per una serie geometrica, con base $-1<1/2<1$, con esponente dipendente dal valore della variabile $x$ ($sum_{n=1}^\infty\frac{1}{2^(x(nx-n-1))}$).
$sum_{n=1}^\infty\frac{2^((n+1)x)}{n*2^(nx^2)}$
La serie può essere scritta anche come $sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n*2^(nx^2-nx-x)}=sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n*2^(x(nx-n-1))}$.
A questo punto non riesco a capire quale criterio si possa applicare per determinarne la convergenza e/o la divergenza, al variare di $x in RR$. Separando i due fattori otteniamo il prodotto di una serie armonica divergente positivamente ($sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n}$) per una serie geometrica, con base $-1<1/2<1$, con esponente dipendente dal valore della variabile $x$ ($sum_{n=1}^\infty\frac{1}{2^(x(nx-n-1))}$).
Risposte
Ad una prima occhiata io proverei con il criterio del rapporto..
Quindi diresti di svolgere il
$ lim_(n -> +infty) (n*2^(nx^2-nx-x))/((n+1)*2^((n+1)x^2-(n+1)x-x))=lim_(n -> +infty) n/((n+1)*2^(nx^2+x^2-nx-x-x-nx^2+nx+x))=lim_(n -> +infty) n/((n+1)*2^(x^2-x))=lim_(n -> +infty) n/(n*2^(x^2-x)+2^(x^2-x))=$
$=lim_(n -> +infty) 1/(2^(x^2-x)+(2^(x^2-x))/n)=lim_(n -> +infty) 1/(2^(x^2-x)(1+1/n))=lim_(n -> +infty) 1/2^(x(x-1))$
Detto questo, sapendo che la serie converge, in base al criterio del rapporto, se il limite è minore $1$ mentre diverge positivamente se il limite è maggiore di $1$, possiamo dire che per $1/(2^(x(x-1)))>1$ ($01$). È corretto questo ragionamento?
$ lim_(n -> +infty) (n*2^(nx^2-nx-x))/((n+1)*2^((n+1)x^2-(n+1)x-x))=lim_(n -> +infty) n/((n+1)*2^(nx^2+x^2-nx-x-x-nx^2+nx+x))=lim_(n -> +infty) n/((n+1)*2^(x^2-x))=lim_(n -> +infty) n/(n*2^(x^2-x)+2^(x^2-x))=$
$=lim_(n -> +infty) 1/(2^(x^2-x)+(2^(x^2-x))/n)=lim_(n -> +infty) 1/(2^(x^2-x)(1+1/n))=lim_(n -> +infty) 1/2^(x(x-1))$
Detto questo, sapendo che la serie converge, in base al criterio del rapporto, se il limite è minore $1$ mentre diverge positivamente se il limite è maggiore di $1$, possiamo dire che per $1/(2^(x(x-1)))>1$ ($0
criterio radice better.ti diventa $2^(x-x^2)<1$
te lo confermera' anche Michael.Ma quante serie sono arrivati?I me so fermato alla 3+1/2,perche' me vedevo lost.2 erano troppe poi pure impicciatissime
Stavo tornando sull'esercizio oggetto di questa discussione, e volevo proporvi, per intero, il mio metodo risolutivo per avere un confronto con voi:
La serie di partenza può anche essere riscritta come
$sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n*2^(nx^2-nx-x)}$
Applicando il criterio del rapporto otteniamo (i passaggi sono stati già effettuati sopra):
$L=lim_(n -> +infty) 1/2^(x^2-x)$
Pertanto $L=1/2^(x^2-x)$ e, di conseguenza, la serie converge per $1/(2^(x^2-x))>1$ ($01$).
L'unico dubbio è il seguente: avrei dovuto applicare il valore assoluto a queste due ultime conclusioni risolvendo $|1/(2^(x^2-x))|>1$ e $|1/(2^(x^2-x))|<1$, se si perchè?
La serie di partenza può anche essere riscritta come
$sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n*2^(nx^2-nx-x)}$
Applicando il criterio del rapporto otteniamo (i passaggi sono stati già effettuati sopra):
$L=lim_(n -> +infty) 1/2^(x^2-x)$
Pertanto $L=1/2^(x^2-x)$ e, di conseguenza, la serie converge per $1/(2^(x^2-x))>1$ ($0
L'unico dubbio è il seguente: avrei dovuto applicare il valore assoluto a queste due ultime conclusioni risolvendo $|1/(2^(x^2-x))|>1$ e $|1/(2^(x^2-x))|<1$, se si perchè?
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