Serie
1) $sum_(0)^(oo) ((3x-6)^n)/((3^n)n)$
sostituisco $t=(3x-6)$
per trovare il raggio di convergenza utilizzo il criterio del rapporto e ottengo +3 e -3
in +3 la serie diverge perchè armonica generalizzata con a<1 (1/n)
in -3 la serie converge per Leibniz $((-1)^n/n)$
ora ricavo x e ottengo l'intervallo di convergenza [1;3[
E' giusto il risultato???
2) Devo sviluppare questa funzione $e^(sen(x))$ con lo sviluppo di maclaurin, e scrivere un polinomio di grado 3...Come posso procedere???
3) $int_(0)^(1/2) ((e^x-cosx)/x)dx$-->facendo lo sviluppo otten5go una serie che parte da 0 mentre il libro indica lo stesso risultato che ho trovato io però con la serie che parte da 1-->$sum_(1)^(oo) (1/(2^n*n*n!)+(-1)^(n+1)/(4^n*2n*(2n)!))$
Qual'e il risultato corretto???
sostituisco $t=(3x-6)$
per trovare il raggio di convergenza utilizzo il criterio del rapporto e ottengo +3 e -3
in +3 la serie diverge perchè armonica generalizzata con a<1 (1/n)
in -3 la serie converge per Leibniz $((-1)^n/n)$
ora ricavo x e ottengo l'intervallo di convergenza [1;3[
E' giusto il risultato???
2) Devo sviluppare questa funzione $e^(sen(x))$ con lo sviluppo di maclaurin, e scrivere un polinomio di grado 3...Come posso procedere???
3) $int_(0)^(1/2) ((e^x-cosx)/x)dx$-->facendo lo sviluppo otten5go una serie che parte da 0 mentre il libro indica lo stesso risultato che ho trovato io però con la serie che parte da 1-->$sum_(1)^(oo) (1/(2^n*n*n!)+(-1)^(n+1)/(4^n*2n*(2n)!))$
Qual'e il risultato corretto???
Risposte
1) Il risultato è giusto, ma con un'altra sostituzione si fa ancora prima:
la serie in 1) è
$sum_{n=1}^{+infty} \frac{(3x-6)^n}{n 3^n}$.
Allora con la sostituzione $y=x-2$ ottieni la serie $\sum_{n=1}^{+infty} 1/n y^n$ che è una serie di potenze.
La serie converge per $-1 \leq y \le 1$, diverge a $+oo$ per $ y \geq 1$, è indeterminata per $y < 1$. Da cui traslando di $2$ trovi gli intervalli sulle $x$.
Se invece ti interessa la convergenza uniforme,
hai che la serie converge totalmente su ogni compatto contenuto in $(-1,1)$
la serie in 1) è
$sum_{n=1}^{+infty} \frac{(3x-6)^n}{n 3^n}$.
Allora con la sostituzione $y=x-2$ ottieni la serie $\sum_{n=1}^{+infty} 1/n y^n$ che è una serie di potenze.
La serie converge per $-1 \leq y \le 1$, diverge a $+oo$ per $ y \geq 1$, è indeterminata per $y < 1$. Da cui traslando di $2$ trovi gli intervalli sulle $x$.
Se invece ti interessa la convergenza uniforme,
hai che la serie converge totalmente su ogni compatto contenuto in $(-1,1)$
grazie 
Il punto 1 e 3 li ho capiti...il punto 2 si può risolvere utilizzando gli sviluppi noti o per forza devo calcolare le varie derivate calcolate in 0...?
Il punto 1 e 3 li ho capiti...il punto 2 si può risolvere utilizzando gli sviluppi noti o per forza devo calcolare le varie derivate calcolate in 0...?
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