Serie
Salve a tutti, ho un super dubbio ragazzi...
dire se la seguente serie converge:
$\sum_{n=0}^\infty 1/(sqrt(n)(1+n))$
Uso il criterio del confronto asintotico e la confronto con $1/sqrt(n)$ che diverge.
A questo punto facendo il rapporto tra le 2 ottengo $1/(1+n)$ che per n che tende ad infinito risulta 0.
A questo punto visto che Bn diverge allora An diverge... ma nelle soluzioni converge!
Cosa ho sbagliato?Grazie!
dire se la seguente serie converge:
$\sum_{n=0}^\infty 1/(sqrt(n)(1+n))$
Uso il criterio del confronto asintotico e la confronto con $1/sqrt(n)$ che diverge.
A questo punto facendo il rapporto tra le 2 ottengo $1/(1+n)$ che per n che tende ad infinito risulta 0.
A questo punto visto che Bn diverge allora An diverge... ma nelle soluzioni converge!
Cosa ho sbagliato?Grazie!
Risposte
Il confronto asintotico non funziona così, non puoi confrontare solo una parte... se proprio vuoi confrontare la tua serie, prova a confrontarla con $1/n^(3/2)$ 
P.S. Altrimenti, secondo il tuo ragionamento, concludi in modo analogo anche che anche $1/n^2$ diverge, assurdo.
P.S. Altrimenti, secondo il tuo ragionamento, concludi in modo analogo anche che anche $1/n^2$ diverge, assurdo.
"matteomors":
Salve a tutti, ho un super dubbio ragazzi...
dire se la seguente serie converge:
$\sum_{n=0}^\infty 1/(sqrt(n)(1+n))$
Uso il criterio del confronto asintotico e la confronto con $1/sqrt(n)$ che diverge.
A questo punto facendo il rapporto tra le 2 ottengo $1/(1+n)$ che per n che tende ad infinito risulta 0.
A questo punto visto che Bn diverge allora An diverge... ma nelle soluzioni converge!
Cosa ho sbagliato?Grazie!
Hai sbagliato il confronto asintotico: $1/sqrt(n)$ non è asintotica a $1/(sqrt(n)(1+n)$ definitivamente.
"Gatto89":
Il confronto asintotico non funziona così, non puoi confrontare solo una parte... se proprio vuoi confrontare la tua serie, prova a confrontarla con $1/n^(3/2)$
P.S. Altrimenti, secondo il tuo ragionamento, concludi in modo analogo anche che anche $1/n^2$ diverge, assurdo.
In che senso non posso confrontare solo una parte? Nel senso che la serie Bn che scelgo dev'essere maggiore uguale ad An?
in realtà io avevo pensato di usare il criterio del confronto quindi porre l'intera serie < $ (n)^(a) $ e considerare quindi $ (n)^(a) $ come maggiorante della serie data....è sbagliato?
"sidprescott":
salve a tutti, ho bisogno di aiuto...come si risolve la seguente serie numerica?
studiare al variare di a la serie:
$ sum_(n = 1)^( infty) $ n^a ( $ cos $ (1/n^2) - 1) / $ sin $ (1/ $ sqrt(n) $)
Prova con delle stime asintotiche. Magari poi scrivi anche qualche passaggio che hai fatto e vediamo dov'è il problema.
Per favore riuscite a rispondere alla mia domanda che mi sta mandando abbastanza in crisi:)?
"matteomors":
Per favore riuscite a rispondere alla mia domanda che mi sta mandando abbastanza in crisi:)?
Io non ho ben capito cosa intendi parlando di due successioni $a_n$ e $b_n$.
In ogni caso, riprendiamo la successione di partenza $1/(sqrtn*(n+1))$. Questa successione è definitivamente asintotica a $1/(sqrtn*n)$, sei d'accordo ?
Puoi spiegarmi cosa vuol dire "definitivamente asintotica"?
In rete non trovo niente i il mio libro fa pena...
In rete non trovo niente i il mio libro fa pena...
"matteomors":
Puoi spiegarmi cosa vuol dire "definitivamente asintotica"?
In rete non trovo niente i il mio libro fa pena...
Ok. Per studiare il carattere della serie, abbiamo detto che usiamo il criterio del confronto asintotico.
Vogliamo cioè trovare una successione che sia asintotica alla nostra e della quale conosciamo il carattere.
Dire che due successioni sono asintotiche senza aggiungere altro non ha senso. Bisogna specificare " dove " lo sono.
Ad esempio, le funzioni $sinx$ e $x$ sono asintotiche in un intorno di zero.
La frase "$a_n , b_n$ sono definitivamente asintotiche " significa che $lim_(n->+oo)a_n/b_n=1$.
Per studiare il carattere di una serie è chiaro che dobbiamo vedere come si comporta la nostra successione definitivamente ( cioè, tanto per capirci, "all'infinito") perchè il carattere della serie non dipende da un numero finito di termini.
Spero di essere stato chiaro, se non lo sono stato fammelo pure notare !
Claro:) quindi nel mio caso non sono definitivamente asintotiche perchè il rapporto è 0 
!
Ma questo vale solo col criterio del confronto asintotico ?Grazie mille!
!Ma questo vale solo col criterio del confronto asintotico ?Grazie mille!
"matteomors":
Claro:) quindi nel mio caso non sono definitivamente asintotiche perchè il rapporto è 0
Ma questo vale solo col criterio del confronto asintotico ?Grazie mille!
Esatto, $1/sqrtn$ e $1/(sqrtn*(n+1))$ non sono definitivamente asintotiche e quindi non puoi confrontarle. Per risolvere l'esercizio ti basta trovare una successione che sia def. asintotica a $1/(sqrtn*(n+1))$. Hai qualche idea ?
Quella che mi hai suggerito prima
Grazue relegal...ma mi viene un dubbio:
il criterio dice che se il limite del rapporto tra le 2 serie viene per esempio un numero $l$ (maggiore di zero minore di infinito) e se la serie che hai "inventato" per il conftonto converge allora anche quella di partenza converge.
Ma se per confrontarle devono essere definitivamente asintotiche,di conseguenza il rapporto deve dare come risultato 1, che senso ha parlare di quel numero $l$ ?
Grazue relegal...ma mi viene un dubbio:
il criterio dice che se il limite del rapporto tra le 2 serie viene per esempio un numero $l$ (maggiore di zero minore di infinito) e se la serie che hai "inventato" per il conftonto converge allora anche quella di partenza converge.
Ma se per confrontarle devono essere definitivamente asintotiche,di conseguenza il rapporto deve dare come risultato 1, che senso ha parlare di quel numero $l$ ?
"matteomors":
Quella che mi hai suggerito prima
Grazue relegal...ma mi viene un dubbio:
il criterio dice che se il limite del rapporto tra le 2 serie viene per esempio un numero $l$ (maggiore di zero minore di infinito) e se la serie che hai "inventato" per il conftonto converge allora anche quella di partenza converge.
Ma se per confrontarle devono essere definitivamente asintotiche,di conseguenza il rapporto deve dare come risultato 1, che senso ha parlare di quel numero $l$ ?
Aggiungo una cosa che non ho sottolineato precedentemente: Il criterio del confronto asintotico vale per serie a termini positivi !
Da quello che hai detto mi sembra di capire che tu alluda al criterio del rapporto.
L'enunciato è: Sia $a_n$ una successione a termini positivi. Si consideri $lim_(k->+oo)a_(k+1)/a_k$.
Se tale limite esiste e vale un certo $l<1$ allora la serie converge.
Se tale limite esiste e vale un certo $l>1$ allora la serie diverge.
Nulla si può dire se il limite esiste e vale uno o se non esiste.
No no io mi riferisco al criterio del confronto asintotico.
Guarda qui:
http://www2.dm.unito.it/paginepersonali ... rserie.pdf
può addirittura risultare infinito!
Guarda qui:
http://www2.dm.unito.it/paginepersonali ... rserie.pdf
può addirittura risultare infinito!
"matteomors":
No no io mi riferisco al criterio del confronto asintotico.
Guarda qui:
http://www2.dm.unito.it/paginepersonali ... rserie.pdf
può addirittura risultare infinito!
Ah, ho capito: questo è il confronto che abbiamo applicato noi in versione generalizzata: In parole spicce nel link ti dice che se parti da una successione a termini positivi $a_n$ e trovi una successione $b_n$ a termini positivi tale che $lim_(n->+oo)a_n/b_n=L>=0$,
conoscendo il carattere della serie di $b_n$ puoi risalire al carattere della serie di $a_n$. Se ci pensi è proprio quello che abbiamo fatto noi partendo dalla successione$a_n =$ $1/(sqrtn*(n+1))$ e cercando una successione $b_n $tale che $lim_(n->+oo)a_n/b_n=1$. Nel nostro caso tale successione era $b_n :=1/n^(3/2)$.
Credo di aver capito...in fin dei conti se applico il nostro caso al principio generale del link capisco che avete ragione voi e come avevo fatto io non riuscivo ad ottenere nessuna informazione...grazie:)
qualcuno potrebbe gentilmente aiutarmi????
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