Serie

[killa1]

Come posso ragionare su questa serie?

$\sum_{n=2}^\infty (log(n^3-7))/(n^2+2n)$

Secondo me converge perchè potrebbe andare come $1/n^2$ ma come lo dimostro?

[Gatto891]

Non proprio come $1/(n^2)$ ma il logaritmo è giustamente molto lento... quindi sicuramente la tua serie va più lenta di $1/n^(\alpha) \forall \alpha < 2$ da cui, prendendo un $\alpha$ comodo, la tesi

[killa1]

No aspetta...perchè $\alpha <2$ ?

La cosa che poi non capisco è come devo considerare il logaritmo dato che in questo caso non posso ricondurmi ai limiti notevoli...giusto?

[Gatto891]

Nel senso, provando a confrontare il tuo termine generale con quello di una serie armonica, hai che $( (log(n^3-7))/(n^2+2n) ) /( (1/n^(\alpha) )$ $= (n^(alpha)log(n^3-7))/n^2 = (log(n^3-7))/(n^(2-\alpha))$ che per questioni di velocità tende a $0$ se $\alpha < 2$, ovvero la tua serie risulta dominata da $\sum1/n^(\alpha) \forall \alpha < 2$ (e puoi prendere quindi, ad esempio, $\alpha = 3/2$ e dire che...)


Alternativamente (ovvero più semplicemente ), puoi dire che definitivamente $log(n^3 -7) < n^(1/2)$ e quindi...

[killa1]

Ah ok, quindi prendo $\alpha = 3/2$ e mi riconduco alla serie armonica con esponente $> 1$ che quindi converge. E converge pure la mia serie. Giusto?

[Gatto891]

"killa":Ah ok, quindi prendo $\alpha = 3/2$ e mi riconduco alla serie armonica con esponente $> 1$ che quindi converge. E converge pure la mia serie. Giusto?

Oui

In sede di esame, puoi scrivere che la tua serie è dominata da una serie convergente e quindi converge.

[killa1]

Grazie =)