Serie

[ultras91]

$\sum_{n=3}^∞ ((n + 1)/(n-2))^n^2$



ragazzi applicando il criterio della radice arrivo a qst passaggio

$((n + 1)/(n-2))^n$

ora dovrei applicare un limite fondamentale ma non riesco a vedere che limite applicare mi dareste una mano....

[misanino]

"ultras91":$\sum_{n=3}^∞ ((n + 1)/(n-2))^n^2$



ragazzi applicando il criterio della radice arrivo a qst passaggio

$((n + 1)/(n-2))^n$

ora dovrei applicare un limite fondamentale ma non riesco a vedere che limite applicare mi dareste una mano....

La serie è forse questa:
$\sum_{n=3}^∞ ((n + 1)/(n-2))^(n^2)$

[ultras91]

"misanino":[quote="ultras91"]$\sum_{n=3}^∞ ((n + 1)/(n-2))^n^2$



ragazzi applicando il criterio della radice arrivo a qst passaggio

$((n + 1)/(n-2))^n$

ora dovrei applicare un limite fondamentale ma non riesco a vedere che limite applicare mi dareste una mano....

La serie è forse questa:
$\sum_{n=3}^∞ ((n + 1)/(n-2))^(n^2)$[/quote]

sisi e questa solo sono riuscivo con le forumle a scriverla bene

[misanino]

"misanino":

La serie è forse questa:
$\sum_{n=3}^∞ ((n + 1)/(n-2))^(n^2)$

In tal caso dovrebbe essere piuttosto semplice.
Abbiamo $\sum_{n=3}^∞ ((n + 1)/(n-2))^(n^2)$
Facciamo prima di tutto un cambio di variabile e poniamo $n-2=k$ (cioè $n=k+2$)
Quindi prima n andava da 3 a infinito e quindi ora k va da 1 a infinito
Mi ritrovo quindi:
$\sum_{k=1}^∞ ((k+3)/(k))^((k+2)^2)=\sum_{k=1}^∞ (1+3/k)^((k+2)^2)$
Ora
$(1+3/k)^((k+2)^2)>(1+3/k)^(k^2)>(1+3/k)^k>(1+3/k)^(k/3)$
Sai però che il limite per x che tende a infinito di $(1+1/x)^x$ vale $e$ e quindi il limite per x che tende a infinito di $(1+3/x)^(x/3)$ vale $e$
Perciò abbiamo $\sum_{k=1}^∞ ((k+3)/(k))^((k+2)^2)>\sum_{k=1}^∞(1+3/k)^(k/3)$ e il termine generale di quest'ultima serie tende a $e$, quindi non tende a 0. Allora essa diverge. Allora anche le nostra serie iniziale diverge

[Gatto891]

"ultras91":
ragazzi applicando il criterio della radice arrivo a qst passaggio

Evitiamo il linguaggio sms-ese...

Comunque, riguardo alla serie puoi verificare fin dall'inizio che il termine generale della tua serie non è infinitesimo (anzi, al tendere di $n$ a infinito il tuo termine generale tende a infinito!) quindi non può convergere, ed essendo una serie a termini positivi può quindi soltanto divergere.