Serie (51707)

Newton_1372
Provare che la serie
[math] \sum_{n=1}^\infty\rho^n\cos{nx}[/math]
è convergente solo se
[math]01.

Aggiunto 5 minuti più tardi:

Ora per assurdo poniamo rho

Risposte
ciampax
E' molto più semplice di come l'hai scritta tu! Tra l'altro, ti faccio presente che il limite che scrivi per
[math]\rho>1[/math]
è sbagliato, in quanto tu hai usato il limite notevole
[math]\lim_{t\to 0}\frac{\sin t}{t}=1[/math]
, ma nel caso che hai usato la
[math]t[/math]
tende a infinito in quanto
[math]t=nx+\frac{\pi}{2}[/math]
.

Il modo migliore per dimostrare la convergenza è, secondo me, quello di usare le proprietà dei numeri complessi. Infatti se
[math]z=\rho(\cos x+i\sin x)[/math]
è un numero complesso espresso in forma trigonometrica, allora

[math]z^n=\rho^n(\cos(nx)+i\sin(nx))[/math]
(formula di De Moivre)

e sai che la serie

[math]\sum_{n=1}^\infty z^n[/math]


converge se e solo se [math]|z|

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