Serie (51707)
Provare che la serie
[math]01.
Aggiunto 5 minuti più tardi:
Ora per assurdo poniamo rho
[math] \sum_{n=1}^\infty\rho^n\cos{nx}[/math]
è convergente solo se [math]01.
Aggiunto 5 minuti più tardi:
Ora per assurdo poniamo rho
Risposte
E' molto più semplice di come l'hai scritta tu! Tra l'altro, ti faccio presente che il limite che scrivi per
Il modo migliore per dimostrare la convergenza è, secondo me, quello di usare le proprietà dei numeri complessi. Infatti se
e sai che la serie
converge se e solo se [math]|z|
[math]\rho>1[/math]
è sbagliato, in quanto tu hai usato il limite notevole [math]\lim_{t\to 0}\frac{\sin t}{t}=1[/math]
, ma nel caso che hai usato la [math]t[/math]
tende a infinito in quanto [math]t=nx+\frac{\pi}{2}[/math]
.Il modo migliore per dimostrare la convergenza è, secondo me, quello di usare le proprietà dei numeri complessi. Infatti se
[math]z=\rho(\cos x+i\sin x)[/math]
è un numero complesso espresso in forma trigonometrica, allora[math]z^n=\rho^n(\cos(nx)+i\sin(nx))[/math]
(formula di De Moivre)e sai che la serie
[math]\sum_{n=1}^\infty z^n[/math]
converge se e solo se [math]|z|