Serie
Ragazzi, ancora un'altra serie della quale non riesco a studiarne il carattere.
L'argomento è: $(sqrt(n^3+4)-sqrt(n^3+1))(tg(1/n)-sin(1/n))^alpha$ con alpha parametro reale positivo
Il mio ragionamento: ho scisso i fattori di questo prodotto e li ho studiati separatamente.
Il primo fattore, calcolandone il limite per n->+oo si comporta come $3/(2n^(3/2))$, il cui limite è appunto 0 ( pertanto vi sono le condizioni per la convergenza). La serie da considerare (er il primo fattore) è$3/2sum(1/n^(3/2))$ e poichè 3/2>1, la serie converge.
Adesso, ho da considerare il secondo fattore. All'inizio pensavo di applicare il confronto asintotico, dal momento che $lim_(n to +oo) (tg(1/n)/(1/n))=1$ e lo stesso vale per $sin(1/n)$. Ma sostituendo questi risultati trovo 0... e il valore di alpha non ha più importanza. Sicuramente sto sbagliando. Vi prego di rindirizzarmi sulla retta via...
L'argomento è: $(sqrt(n^3+4)-sqrt(n^3+1))(tg(1/n)-sin(1/n))^alpha$ con alpha parametro reale positivo
Il mio ragionamento: ho scisso i fattori di questo prodotto e li ho studiati separatamente.
Il primo fattore, calcolandone il limite per n->+oo si comporta come $3/(2n^(3/2))$, il cui limite è appunto 0 ( pertanto vi sono le condizioni per la convergenza). La serie da considerare (er il primo fattore) è$3/2sum(1/n^(3/2))$ e poichè 3/2>1, la serie converge.
Adesso, ho da considerare il secondo fattore. All'inizio pensavo di applicare il confronto asintotico, dal momento che $lim_(n to +oo) (tg(1/n)/(1/n))=1$ e lo stesso vale per $sin(1/n)$. Ma sostituendo questi risultati trovo 0... e il valore di alpha non ha più importanza. Sicuramente sto sbagliando. Vi prego di rindirizzarmi sulla retta via...
Risposte
Prova a confrontare con $1/n^(2alpha)$
$n^(2alpha) (tg(1/n)-sen(1/n))^alpha=n^(2alpha)(tg(1/n))^alpha(1-cos(1/n))^alpha=n^(2alpha)tg^alpha(1/n)((1-cos(1/n))/(1/n^2))^alpha 1/n^(2alpha)$
...
$n^(2alpha) (tg(1/n)-sen(1/n))^alpha=n^(2alpha)(tg(1/n))^alpha(1-cos(1/n))^alpha=n^(2alpha)tg^alpha(1/n)((1-cos(1/n))/(1/n^2))^alpha 1/n^(2alpha)$
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grazie Megan!
prego bad.a!
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