Serie

[fed_27]

Ciao a tutti stavo facendo degli esercizi sulle serie e ho trovato questa di un compito di alcuni anni fa

$ sum (log(n+4)-log(n))/(sqrt(n+1)$
quindi
$sum (log((n+4)/n))/(sqrt(n+1)$
la serie è infinitesima e potrebbe convergere
per verificare la convergenza o meno avrei pensato di usare prima de hopital e poi confrontarla con la serie armonica di ordine 1
ma cmq non riesco a definirne il carattere
mi dareste qualche consiglio
grazie

[void1]

Posto $a_n = \log((n+4)/n)/sqrt(n+1)$, per $n \to +\infty$ hai che $\ln((n+4)/n) = \ln(1+4/n) = 4/n + o(1/n)$. Quindi $a_n \sim 4/(n*sqrt(n))$, da cui si deduce che la serie..

[fed_27]

"void":Posto $a_n = \log((n+4)/n)/sqrt(n+1)$, per $n \to +\infty$ hai che $\ln((n+4)/n) = \ln(1+4/n) = 4/n + o(1/n)$. Quindi $a_n \sim 4/(n*sqrt(n))$, da cui si deduce che la serie..

è infinitesima e che potrebbe convergere altrimenti non so verderlo se non confrontandola con qualco'altro

[void1]

Confrontala con la serie armonica generalizzata.

[fed_27]

"void":Confrontala con la serie armonica generalizzata.

dunque

$n^alpha/(n^(3/2))$
duque converge correggimi se sbaglio

[void1]

Esatto, poiché $a_n \sim 4/n^(3/2)$ la serie converge.

[fed_27]

"void":Esatto, poiché $a_n \sim 4/n^(3/2)$ la serie converge.

grazie per l'aiuto