Serie
Studiare il carattere di queste tre serie:
$\sum_{n=1}^infty\frac{sin(n)}{n}$
$\sum_{n=1}^infty\frac{cos(n)}{n}$
$\sum_{n=1}^infty\(-1)^n\frac{sin(n)}{n}$
EDIT: corretto gli indici
$\sum_{n=1}^infty\frac{sin(n)}{n}$
$\sum_{n=1}^infty\frac{cos(n)}{n}$
$\sum_{n=1}^infty\(-1)^n\frac{sin(n)}{n}$
EDIT: corretto gli indici
Risposte
Scusate ragazzi, ho letto solo dopo le regole del forum, cioè il fatto che chi chiede aiuto deve almeno dimostrare di averci perso tempo sulla questione, quindi siccome io c'ho riflettuto vi dico che ragionamenti ho fatto. Mi scuso da prima se scrivo qualcosa che non è corretta.
Dunque essendo queste tre serie a segno non costante, non possiamo utilizzare i seguenti criteri:
- del rapporto
- della radice
- del quoziente/confronto
- dell'ordine di infinitesimo
Per altro il limite delle prime due successioni è 0, condizione necessaria ma non sufficiente perchè le due serie siano convergenti. Mentre il limite della terza successione non esiste.
Ora essendo le prime due a segno variabile e l'ultima a segno sia variabile che alternato dobbiamo studiare l'assoluta convergenza o divergenza. Però il criterio di Lebiniz non ci viene in aiuto sia perchè vale solo per le serie a segno alternato (giusto?) e sia perchè nelle prime due il limite è 0 e nell'ultima non esiste.
Che si fa? Forse c'entrano qualcosa gli ordini di infinito?
Dunque essendo queste tre serie a segno non costante, non possiamo utilizzare i seguenti criteri:
- del rapporto
- della radice
- del quoziente/confronto
- dell'ordine di infinitesimo
Per altro il limite delle prime due successioni è 0, condizione necessaria ma non sufficiente perchè le due serie siano convergenti. Mentre il limite della terza successione non esiste.
Ora essendo le prime due a segno variabile e l'ultima a segno sia variabile che alternato dobbiamo studiare l'assoluta convergenza o divergenza. Però il criterio di Lebiniz non ci viene in aiuto sia perchè vale solo per le serie a segno alternato (giusto?) e sia perchè nelle prime due il limite è 0 e nell'ultima non esiste.
Che si fa? Forse c'entrano qualcosa gli ordini di infinito?
Scusa ma come fanno a comparire entrambi gli indici k e n?
Credo che l'incoerenza degli indici di sommatoria e delle variabili negli addendi sia dovuta ad una piccola distrazione (in caso contrario, le tre serie sono tutte divergenti senza dubbio).
Il limite della terza successione di addendi esiste ed è $0$.
Il criterio di Leibniz non può essere applicato, perché nessuna delle tre serie è a segni alterni.
Per i criteri di convergenza assoluta, direi che il criterio del rapporto è inapplicabile (le due successioni $sin(n)$ e $cos(n)$ sono troppo "strane", nel senso che, se non ricordo male, la loro immagine è densa in $[-1,1]$ e perciò è probabile che nessuna tra le due successioni $|(sin(n+1))/(sin(n))|, |(cos(n+1))/(cos(n))|$ sia regolare né limitata); il confronto anche mi pare arduo, sempre per il motivo detto prima; il criterio della radice fornisce limite $1$ in tutti i casi ed è inapplicabile.
L'unico possibile mi pare l'ordine d'infinitesimo: le successioni degli addendi sono infinitesime per $n\to +oo$ d'ordine inferiore ad $1$, ma d'ordine superiore ad ogni $\alpha <1$, cosicché nessuna delle tre successioni è un infinitesimo dotato di ordine rispetto a $1/n$.
Tuttavia Mathematica 5.0 mi dice che le serie sono tutte convergenti... In particolare:
$\sum_(n=1)^(+oo) (sin(n))/n = (pi -1)/2$
$\sum_(n=1)^(+oo) (cos(n))/n = -1/2 log (2-2cos(1))$
$\sum_(n=1)^(+oo) (-1)^n(sin(n))/n =-1/2$.
Il limite della terza successione di addendi esiste ed è $0$.
Il criterio di Leibniz non può essere applicato, perché nessuna delle tre serie è a segni alterni.
Per i criteri di convergenza assoluta, direi che il criterio del rapporto è inapplicabile (le due successioni $sin(n)$ e $cos(n)$ sono troppo "strane", nel senso che, se non ricordo male, la loro immagine è densa in $[-1,1]$ e perciò è probabile che nessuna tra le due successioni $|(sin(n+1))/(sin(n))|, |(cos(n+1))/(cos(n))|$ sia regolare né limitata); il confronto anche mi pare arduo, sempre per il motivo detto prima; il criterio della radice fornisce limite $1$ in tutti i casi ed è inapplicabile.
L'unico possibile mi pare l'ordine d'infinitesimo: le successioni degli addendi sono infinitesime per $n\to +oo$ d'ordine inferiore ad $1$, ma d'ordine superiore ad ogni $\alpha <1$, cosicché nessuna delle tre successioni è un infinitesimo dotato di ordine rispetto a $1/n$.
Tuttavia Mathematica 5.0 mi dice che le serie sono tutte convergenti... In particolare:
$\sum_(n=1)^(+oo) (sin(n))/n = (pi -1)/2$
$\sum_(n=1)^(+oo) (cos(n))/n = -1/2 log (2-2cos(1))$
$\sum_(n=1)^(+oo) (-1)^n(sin(n))/n =-1/2$.
In effetti avevo sbagliato a scrivere gli indici...
Grazie Gugo per la risposta, finalmente hai risolto l'enigma, però mi piacerebbe sapere se esiste qualche metodo per poterle studiare... magari lo chiederò al mio prof.!
Grazie Gugo per la risposta, finalmente hai risolto l'enigma, però mi piacerebbe sapere se esiste qualche metodo per poterle studiare... magari lo chiederò al mio prof.!
A occhio credo che le serie proposte (tutte piuttosto delicate) abbiano a che fare con sviluppi di Fourier.
Credo che dovresti a fare lo sviluppo in serie di Fourier di un "dente di sega" ($f(x)=x$ tra $-\pi$ e $\pi$, periodicizzata di periodo $2\pi$)
e vedere cosa viene fuori.
Credo che dovresti a fare lo sviluppo in serie di Fourier di un "dente di sega" ($f(x)=x$ tra $-\pi$ e $\pi$, periodicizzata di periodo $2\pi$)
e vedere cosa viene fuori.
Ho verificato che sviluppando in serie di Fourier il dente di sega si riesce a calcolare la somma dell'ultima serie.
L'obiettivo è prendere la funzione $f(x)=x$ per $x in [-pi,pi)$ e scriverla come $f(x)=a_0/2+sum_(n=1)^(+oo)[a_ncos(nx)+b_nsin(nx)]$
Dalla teoria si ricava che i coefficienti di Fourier sono:
$a_n=0$ perché la funzione $f(x)$ è dispari
$b_n=1/(pi)int_(-pi)^pif(x)sin(nx)dx=1/(pi)int_(-pi)^pixsin(nx)dx=1/(pi)[-xfrac{cos(nx)}{n}|_(-pi)^pi + int_(-pi)^(pi)cos(nx)/ndx]=-2cos(npi)/n=-2 (-1)^n/n$
Dunque:
$sum_(n=1)^(+oo)(-1)^n/nsin(nx)=-x/2$
e sostituendo il valore $x=1 in [-pi,pi)$ si ottiene grazie al teorema sulla convergenza puntuale delle serie di Fourier che:
$sum_(n=1)^(+oo)(-1)^n/nsin(n)=-1/2$
L'obiettivo è prendere la funzione $f(x)=x$ per $x in [-pi,pi)$ e scriverla come $f(x)=a_0/2+sum_(n=1)^(+oo)[a_ncos(nx)+b_nsin(nx)]$
Dalla teoria si ricava che i coefficienti di Fourier sono:
$a_n=0$ perché la funzione $f(x)$ è dispari
$b_n=1/(pi)int_(-pi)^pif(x)sin(nx)dx=1/(pi)int_(-pi)^pixsin(nx)dx=1/(pi)[-xfrac{cos(nx)}{n}|_(-pi)^pi + int_(-pi)^(pi)cos(nx)/ndx]=-2cos(npi)/n=-2 (-1)^n/n$
Dunque:
$sum_(n=1)^(+oo)(-1)^n/nsin(nx)=-x/2$
e sostituendo il valore $x=1 in [-pi,pi)$ si ottiene grazie al teorema sulla convergenza puntuale delle serie di Fourier che:
$sum_(n=1)^(+oo)(-1)^n/nsin(n)=-1/2$
Scusate il ritardo ragazzi. Volevo ringraziare tutti quelli che mi hanno risposto ma soprattutto fabry!
Mi lascio questo problema a quando avrò studiato allora le serie di Furier, se le farò!
Una domanda: ma senza fare calcoli, secondo voi era possibile ad occhio dire che tutte e tre erano convergenti? Può sembrare una domanda stupida. Il fatto è che un mio collega mi disse proprio che erano convergenti ad occhio!
Mi lascio questo problema a quando avrò studiato allora le serie di Furier, se le farò!
Una domanda: ma senza fare calcoli, secondo voi era possibile ad occhio dire che tutte e tre erano convergenti? Può sembrare una domanda stupida. Il fatto è che un mio collega mi disse proprio che erano convergenti ad occhio!
"Aaron":
Una domanda: ma senza fare calcoli, secondo voi era possibile ad occhio dire che tutte e tre erano convergenti? Può sembrare una domanda stupida. Il fatto è che un mio collega mi disse proprio che erano convergenti ad occhio!
SOLO se conosci Fourier (allora e' abbastanza standard) - con strumenti piu' elementari non ce la fai.
"ViciousGoblinEnters":
[quote="Aaron"]
Una domanda: ma senza fare calcoli, secondo voi era possibile ad occhio dire che tutte e tre erano convergenti? Può sembrare una domanda stupida. Il fatto è che un mio collega mi disse proprio che erano convergenti ad occhio!
SOLO se conosci Fourier (allora e' abbastanza standard) - con strumenti piu' elementari non ce la fai.[/quote]
Grazie!
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