Serie

[miuemia]

trovare l'intervallo in cui converge la serie

$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n! x^{2n}}{n^n(1+x^{2n}}$

la mia difficoltà sta nel ricondurla a una serie di potenze del tipo $\sum a_n y^n$

aiutino?

[Dorian1]

Non viene con il criterio del rapporto?

[miuemia]

verrebbe con il rapporto $(\frac{n}{1+n})^n$ e questo limite quanto fà?

[Dorian1]

"miuemia":verrebbe con il rapporto $(\frac{n}{1+n})^n$ e questo limite quanto fà?

Ponendo $m=n+1$:

$lim_(n->+oo) (n/(1+n))^n=lim_(m->+oo) ((m-1)/m)^(m-1)=lim_(m->+oo) (((m-1)/m)^m)/((m-1)/m)=lim_(m->+oo) ((1-1/m)^m)/(1-1/m)=1/e$

[miuemia]

e ma sul mio libro c'è scritto che l'intervallo in cui converge è tutto $RR$....

[Feliciano1]

e vabbè $1/e$ è il raggio di convergenza; adesso devi studiare $|y|<1/e$ dove per y intendo la tua funzione nella serie $a_ny^n$.
In questo caso questa disequazione ha chiaramente come risultato tutto R

EDIT: tutti questi discorsi sono validi se nel denominatore della serie iniziale $1+x^(2n)$ in realtà sta per $(1+x^2)^n$. In caso contrario nemmeno io così a prima vista la riesco a scrivere nella forma $a_ny^n$

[miuemia]

no no il termine è proprio $\frac{x^{2n}}{1+x^{2n}}$... quindi non funizona così???

[Feliciano1]

no perchè tu innanzitutto devi riuscire a scrivere la serie nelle forma $a_ny^n$

[miuemia]

e questo è il mio problema.