Serie

[fran881]

Ciao. Sto studiando le serie di Fourier e ho un esercizio che mi chiede di calcolare la somma della serie:
$sum_(n=1)^inftyna^ncosnx$ per $|a|<1$ e $x in RR$
Non so come fare. Mi date una mano perfavore?^^

[pat871]

$cos(nx) = (e^(i nx) + e^(-i nx))/2$

Per cui

$\sum_{n=1}^{\infty} na^n cos(nx) = 1/2 \sum_{n=1}^{\infty} na^n (e^(i nx) + e^(-i nx)) = 1/2 \sum_{n=1}^{\infty} n(a*e^(i x))^n + 1/2 \sum_{n=1}^{\infty} n(a*e^(-i x))^n$


Consideriamo la serie di potenze $\sum_{n=1}^{\infty} n(a*e^(i x))^n y^(n-1)$.

1) Considerando che le serie di potenze convergono uniformemente nel loro raggio di convergenza è quindi possibile scambiare l'integrale con la sommatoria
2) Il raggio di convergenza è $R = 1/|a| > 1$.

In questo modo è possibile integrare su $y$ la serie, per poi esprimere il risultato e quindi derivare il risultato ottenuto. Il tutto grazie alla convergenza uniforme della serie e la sua convergenza in $y=1$.

$\int_0^y (\sum_{n=1}^{\infty} n(a*e^(i x))^n (y')^(n-1)) dy' = \sum_{n=1}^{\infty} \int_0^y n(a*e^(i x))^n (y')^(n-1) dy' = \sum_{n=1}^{\infty} (a*e^(i x))^n y^n = \sum_{n=0}^{\infty} (a*e^(i x))^n y^n - 1 = 1/(1- a*e^(ix)*y) - 1 = (a*e^(ix)*y)/(1- a*e^(ix)*y)$

Derivando si ottiene:
$d/(dy) [(a*e^(ix)*y)/(1- a*e^(ix)*y)] = a*e^(ix) * (((1- a*e^(ix)*y) - y*(-a*e^(ix)))/(1-a*e^(ix)*y)^2) = (a*e^(ix))/(1-a*e^(ix)*y)^2$

Adesso poniamo $y=1$, così otteniamo:

$\sum_{n=1}^{\infty} n(a*e^(i x))^n = (a*e^(ix))/(1-a*e^(ix))^2$

Analogamente per l'altra serie. Quindi:

$1/2 \sum_{n=1}^{\infty} n(a*e^(i x))^n + 1/2 \sum_{n=1}^{\infty} n(a*e^(-i x))^n = 1/2 *(a*e^(ix))/(1-a*e^(ix))^2 + 1/2 *(a*e^(-ix))/(1-a*e^(-ix))^2$

Il restante è solo riesprimere in termini di seno e coseno i relativi termini $e^(ix)$ che compaiono.



Ehm... non conosco modi più semplici...questo è l'unico metodo che mi è venuto in mente....

[fran881]

Grazie. Ora lo guardo.