Serie
Buonasera a tutti gli utenti del forum!
Mi piacerebbe sentire qualche parere sulla risoluzione dei seguenti esercizi (e magari ricevere un piccolo aiuto!):
Stabilire per quali $x in RR$ le seguenti serie convergono (assolutamente e non assolutamente)
(1) $sum_(n=1)^(+oo) x^n*n^x/(1+|x|^n)$
(2) $sum_(n=1)^(+oo) log n/n*(log(1+n^2))^x$
_______________________________________________________
(1) Se $x=0$ converge banalmente;
Se $x>0$ si ha che $lim_(n->+oo) x^n*n^x/(1+|x|^n)$ = $+oo$ , quindi diverge.
Se $x<0$ la serie si può esprimere così: $sum_(n=1)^(+oo) (-1)^n*|x|^n*n^x/(1+|x|^n)$ e diverge per Leibniz.
Morale della favola: converge per $x=0$
(2) Sia $x>=0$. L'idea è quella di usare il confronto: perciò si vuole mostrare che:
$EE N in NN$ tale che $(log(1+n^2))^x>1$ , $AA n >= N$
Poichè $1+n^2>=1 AA n in NN$, si ha che $(log(1+n^2))^x>=0$ e cresce strettamente (potenza con base ed esponente ambo positivi), su tutto $NN$. Risolvendo la disequazione s'ottiene che $N:= [sqrt(e-1)]+1$
Quindi $(log(1+n^2))^x>1$ , $AA n >= N$ e dunque $log n/nlog(1+n^2)^x>log n/n$, $AA n >= N$ (Si noti che il verso della disequazione non cambia poiche $log n/n$ è sempre positivo). La conclusione deriva dal fatto che la serie è minorata da $log n/n$, la quale diverge.
$x<0$: ... Non saprei come procedere, anche se mi sembra di intuire che la serie convergerà...
Mi piacerebbe sentire qualche parere sulla risoluzione dei seguenti esercizi (e magari ricevere un piccolo aiuto!):
Stabilire per quali $x in RR$ le seguenti serie convergono (assolutamente e non assolutamente)
(1) $sum_(n=1)^(+oo) x^n*n^x/(1+|x|^n)$
(2) $sum_(n=1)^(+oo) log n/n*(log(1+n^2))^x$
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(1) Se $x=0$ converge banalmente;
Se $x>0$ si ha che $lim_(n->+oo) x^n*n^x/(1+|x|^n)$ = $+oo$ , quindi diverge.
Se $x<0$ la serie si può esprimere così: $sum_(n=1)^(+oo) (-1)^n*|x|^n*n^x/(1+|x|^n)$ e diverge per Leibniz.
Morale della favola: converge per $x=0$
(2) Sia $x>=0$. L'idea è quella di usare il confronto: perciò si vuole mostrare che:
$EE N in NN$ tale che $(log(1+n^2))^x>1$ , $AA n >= N$
Poichè $1+n^2>=1 AA n in NN$, si ha che $(log(1+n^2))^x>=0$ e cresce strettamente (potenza con base ed esponente ambo positivi), su tutto $NN$. Risolvendo la disequazione s'ottiene che $N:= [sqrt(e-1)]+1$
Quindi $(log(1+n^2))^x>1$ , $AA n >= N$ e dunque $log n/nlog(1+n^2)^x>log n/n$, $AA n >= N$ (Si noti che il verso della disequazione non cambia poiche $log n/n$ è sempre positivo). La conclusione deriva dal fatto che la serie è minorata da $log n/n$, la quale diverge.
$x<0$: ... Non saprei come procedere, anche se mi sembra di intuire che la serie convergerà...
Risposte
Per l'esercizio 2) con $x<0$ ti conviene scrivere l'addendo della serie portando $(log(1+n^2))^(-|x|)$ e studiare l'ordine di infinitesimo della successione degli addendi così riscritta (noto che essa è a termini positivi).
Se ti accorgi che essa è infinitesima d'ordine non inferiore ad un $alpha >1$ rispetto ad $1/n$ allora la tua serie converge; se è infinitesima d'ordine non superiore ad $1$ rispetto ad $1/n$ allora essa diverge.
Se ti accorgi che essa è infinitesima d'ordine non inferiore ad un $alpha >1$ rispetto ad $1/n$ allora la tua serie converge; se è infinitesima d'ordine non superiore ad $1$ rispetto ad $1/n$ allora essa diverge.
"gugo82":
Per l'esercizio 2) con $x<0$ ti conviene scrivere l'addendo della serie portando $(log(1+n^2))^(-|x|)$ e studiare l'ordine di infinitesimo della successione degli addendi così riscritta (noto che essa è a termini positivi).
Se ti accorgi che essa è infinitesima d'ordine non inferiore ad un $alpha >1$ rispetto ad $1/n$ allora la tua serie converge; se è infinitesima d'ordine non superiore ad $1$ rispetto ad $1/n$ allora essa diverge.
Ti ringrazio!
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