Serie
come si comporta questa serie:
$sum_{n=2}^{oo}(1/(nln(n!)))
non riesco a studiarne la convergenza o divergenza.
grazie a chiunque mi possa dare una mano
$sum_{n=2}^{oo}(1/(nln(n!)))
non riesco a studiarne la convergenza o divergenza.
grazie a chiunque mi possa dare una mano
Risposte
Prova ad usare l'approssimazione di Stirling, magari è utile...
ma senza formula di stirling non si può fare????
Se riesco a dimostrare $ln(n!)>n-1$ definitivamente, avrò $1/(n*ln(n!))<1/(n*(n-1))$ ossia il termine generale della serie è maggiorato dal termine generale della serie di Mengoli, che come è noto converge.
Provo per induzione.
Per $n=4$ ho $ln(4!)=ln(24)>4-1$ infatti $ln 24$ vale circa $3,178$.
Suppongo la tesi vera per $4,5,...,n-1$, la provo per $n$.
$ln(n!)=ln((n-1)!)+ln(n)>=n-2+ln(n)> n-2+1 =n-1$, e l'ultima maggiorazione è vera perché $n>=4 => ln(n)>1$.
Da questo segue la tesi.
Quindi la serie converge.
Provo per induzione.
Per $n=4$ ho $ln(4!)=ln(24)>4-1$ infatti $ln 24$ vale circa $3,178$.
Suppongo la tesi vera per $4,5,...,n-1$, la provo per $n$.
$ln(n!)=ln((n-1)!)+ln(n)>=n-2+ln(n)> n-2+1 =n-1$, e l'ultima maggiorazione è vera perché $n>=4 => ln(n)>1$.
Da questo segue la tesi.
Quindi la serie converge.
"zorn":
Se riesco a dimostrare $ln(n!)>n-1$ definitivamente, avrò $1/(n*ln(n!))<1/(n*(n-1))$ ossia il termine generale della serie è maggiorato dal termine generale della serie di Mengoli, che come è noto converge.
Provo per induzione.
Per $n=4$ ho $ln(4!)=ln(24)>4-1$ infatti $ln 24$ vale circa $3,178$.
Suppongo la tesi vera per $4,5,...,n-1$, la provo per $n$.
$ln(n!)=ln((n-1)!)+ln(n)>=n-2+ln(n)> n-2+1 =n-1$, e l'ultima maggiorazione è vera perché $n>=4 => ln(n)>1$.
Da questo segue la tesi.
Quindi la serie converge.
Che ne dite, mi confermate?
a me sembra corretto
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