Serie
Ciao a tutti, potete spiegarmi per favore come trovare il carattere dell serie: $sum_(n=1)^oo (-1)^(n+1)cos(1/n)$ ?
Grazie.. a presto
Grazie.. a presto
Risposte
Se calcoli il limite di $|a_n|$ con $n->+oo$ risulta...e quindi la serie... 
ci avevo pensato.. risulta che non esiste e quindi la serie nmon puo convergere... allora che fa?
diverge positivamente, negativamente o è indeterminata?
diverge positivamente, negativamente o è indeterminata?
beh, il termine generico oscilla (infatti $cos(1/n)$ va a $1$ e quindi il segno è dato dal $(-1)^{n+1}$), quindi cosa puoi dedurre?
posso dedurre che sarete dei buoni insegnanti se non lo siete già...
P.S. Non devo consegnare questo esercizio bello e pronto alla maestra domani, quindi se avreste commesso sacrilegio a essere meno ermetici
grazie lo stesso
P.S. Non devo consegnare questo esercizio bello e pronto alla maestra domani, quindi se avreste commesso sacrilegio a essere meno ermetici
grazie lo stesso
"matematicoestinto":
ci avevo pensato.. risulta che non esiste e quindi la serie nmon puo convergere... allora che fa?
diverge positivamente, negativamente o è indeterminata?
Occhio, il termine generico $a_n$ oscilla e quindi il limite non esiste, ma non il suo valore assoluto.
"Cozza Taddeo":
[quote="matematicoestinto"]ci avevo pensato.. risulta che non esiste e quindi la serie nmon puo convergere... allora che fa?
diverge positivamente, negativamente o è indeterminata?
Occhio, il termine generico $a_n$ oscilla e quindi il limite non esiste, ma non il suo valore assoluto.[/quote]
Ma che vuoi dire? Forse non ti rendi conto che così facendo rischiate di far confondere ancora di più
bonini, bonini!
che la serie non converga non ci piove, visto che il termine generale non va a zero (tende a 1 in valore assoluto)
da qui non discende in modo ovvio cosa faccia la serie
potrebbe divergere (positivamente o negativamente) o essere indeterminata
esempio: prendiamo una serie che oscilli, tipo:
$a_{2n}=-1$
$a_{2n+1}=1+c_n$
ovviamente il carattere di $a_n$ dipende da $c_n$
se $c_n = 1/n$, $a_n$ diverge positivamente
se $c_n = - 1/n$, $a_n$ diverge negativamente
se $c_n = \frac{1}{n^2}$, $a_n$ è indeterminata (lo si vede ancora meglio se si prende $c_n=0$...)
s.e.o.
ciao
che la serie non converga non ci piove, visto che il termine generale non va a zero (tende a 1 in valore assoluto)
da qui non discende in modo ovvio cosa faccia la serie
potrebbe divergere (positivamente o negativamente) o essere indeterminata
esempio: prendiamo una serie che oscilli, tipo:
$a_{2n}=-1$
$a_{2n+1}=1+c_n$
ovviamente il carattere di $a_n$ dipende da $c_n$
se $c_n = 1/n$, $a_n$ diverge positivamente
se $c_n = - 1/n$, $a_n$ diverge negativamente
se $c_n = \frac{1}{n^2}$, $a_n$ è indeterminata (lo si vede ancora meglio se si prende $c_n=0$...)
s.e.o.
ciao
Grazie molte per la risposta... Non ho capito però come mai quella la terza serie è indeterminata... Inoltre non ho capito questo: Se ho una serie del tipo $sum_(n=1)^oo a_n$ dove $a_n>=0 AA n in NN$ il cui limite di $a_n$ non esiste, posso dire con certezza che è indeterminata? Perchè?
grazie molte per tutto
grazie molte per tutto
"matematicoestinto":
Grazie molte per la risposta... Non ho capito però come mai quella la terza serie è indeterminata... Inoltre non ho capito questo: Se ho una serie del tipo $sum_(n=1)^oo a_n$ dove $a_n>=0 AA$ il cui limite di $a_n$ non esiste, posso dire con certezza che è indeterminata?
risposta alla prima domanda:
tutto dipende dal fatto che la serie di $\frac{1}{n^2}$ è convergente. Chiamo $s$ la sua somma
Se prendi la ridotta $2n+1$-esima della serie degli $a_n$, ovvero $s_{2n+1}$, ottieni:
$s_{2n+1} = \sum_{k=1}^n \frac{1}{k^2}$ che quindi tende ad $s$
invece, $s_{2n} = s_{2n+1} - a_{2n+1} = s_{2n+1} - 1 +\frac{1}{n^2}$ che tende a $s-1$
quindi la successione delle ridotte NON converge
risposta alla seconda domanda:
qui è facile, è un teorema standard, classico, sulle serie numeriche
la successione delle ridotte è monotona (debolmente crescente) e quindi ha per forza limite, reale o $+oo$
sempre s.e.o.
riciao
"matematicoestinto":
[quote="Cozza Taddeo"][quote="matematicoestinto"]ci avevo pensato.. risulta che non esiste e quindi la serie nmon puo convergere... allora che fa?
diverge positivamente, negativamente o è indeterminata?
Occhio, il termine generico $a_n$ oscilla e quindi il limite non esiste, ma non il suo valore assoluto.[/quote]
Ma che vuoi dire? Forse non ti rendi conto che così facendo rischiate di far confondere ancora di più[/quote]
Mi scuso se i miei interventi ti sono risultati troppo oscuri, non avendo sufficiente tempo a disposizione ma vedendo che la serie non convergeva per via della condizione necessaria ho messo lí qualche spunto senza approfondire eccessivamente l'esercizio.
La prossima volta cercherò di essere piú chiaro e piú preciso.
Un grazie a Patrone che ha chiarito per bene lo svolgimento del quesito.
il mio scopo non era di essere "ermetica", ma di provare a farti ragionare...
se uno con le cose non ci si scorna un po' da solo non le capirà mai!!!
parlo per esperienza personale... per me sono stati INFINITAMENTE più fruttuosi i tutoraggi dei corsi in cui ci venivano proposti degli esercizi e i prof/tutor erano lì solo a darci suggerimenti su come andare avanti quando ci bloccavamo piuttosto che quelli con esercitazione classica (il tutor fa gli esercizi alla lavagna e tu copi)
se uno con le cose non ci si scorna un po' da solo non le capirà mai!!!
parlo per esperienza personale... per me sono stati INFINITAMENTE più fruttuosi i tutoraggi dei corsi in cui ci venivano proposti degli esercizi e i prof/tutor erano lì solo a darci suggerimenti su come andare avanti quando ci bloccavamo piuttosto che quelli con esercitazione classica (il tutor fa gli esercizi alla lavagna e tu copi)
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