Serie
Per favore ditemi se lo svolgimento di questo esercizio è corretto.
Devo studiare la convergenza della serie $sum_(n=1)^oo(-1)^(n+1)(1/n)^alpha$
Per prima cosa studio la convergenza assoluta della serie: $sum_(n=1)^oo(1/n)^alpha$ e ottengo che se $alpha>1$ la serie converge assolutamente, di conseguenza la serie sopra è assolutamente convergente.
se $0
Se $alpha<=0$ la successione non ha limite, quindi la serie è indeterminata
GRAZIE
Devo studiare la convergenza della serie $sum_(n=1)^oo(-1)^(n+1)(1/n)^alpha$
Per prima cosa studio la convergenza assoluta della serie: $sum_(n=1)^oo(1/n)^alpha$ e ottengo che se $alpha>1$ la serie converge assolutamente, di conseguenza la serie sopra è assolutamente convergente.
se $0
Se $alpha<=0$ la successione non ha limite, quindi la serie è indeterminata
GRAZIE
Risposte
Ho dato un'occhiata un po' veloce, e mi sembra fodnamentalmente corretto. Una sola correzione, si scrive Leibniz.
Per vedere che la successione per $0 < \alpha \le 1$, io non tirerei in ballo le derivate, ma osserverei che $\frac{1}{n^{\alpha}} > \frac{1}{(n+1)^{\alpha}}$.
Per vedere che la successione per $0 < \alpha \le 1$, io non tirerei in ballo le derivate, ma osserverei che $\frac{1}{n^{\alpha}} > \frac{1}{(n+1)^{\alpha}}$.
va bene! Grazie molte
"Tipper":
Una sola correzione, si scrive Leibniz.
Per vedere che la successione per $0 < \alpha \le 1$, io non tirerei in ballo le derivate, ma osserverei che $\frac{1}{n^{\alpha}} > \frac{1}{(n+1)^{\alpha}}$.
pienamente d'accordo (anche perché è un po' pericoloso
parlare di deivata di una successione!)non solo è corretta, ma e anche semplice (che volere di più dala vita?) l'osservazione di Tipper
per il resto, ok
svolgimento pulito ed essenziale
"Fioravante Patrone":
[quote="Tipper"]Una sola correzione, si scrive Leibniz.
Per vedere che la successione per $0 < \alpha \le 1$, io non tirerei in ballo le derivate, ma osserverei che $\frac{1}{n^{\alpha}} > \frac{1}{(n+1)^{\alpha}}$.
pienamente d'accordo (anche perché è un po' pericoloso
parlare di deivata di una successione!)non solo è corretta, ma e anche semplice (che volere di più dala vita?) l'osservazione di Tipper
per il resto, ok
svolgimento pulito ed essenziale[/quote]
Visto che ci siamo, vorrei fare una domanda... se devo calcolare, ad esempio, $\lim_{n \to +\infty} \frac{\ln(n+1)}{\ln(2n+3)}$, come $n \in \mathbb{N}$, è sbagliato usare de l'Hopital? Suppongo di sì (anche se penso che alla fine tornerebbe ugualmente), e allora come fare?
"Tipper":
Visto che ci siamo, vorrei fare una domanda... se devo calcolare, ad esempio, $\lim_{n \to +\infty} \frac{\ln(n+1)}{\ln(2n+3)}$, come $n \in \mathbb{N}$, è sbagliato usare de l'Hopital? Suppongo di sì (anche se penso che alla fine tornerebbe ugualmente), e allora come fare?
basta cambiare lettera
scherzo, ma fino a un certo punto
prendi la funzione di variabile reale corispondente (blackdie, carlo23, e compari: state buoni un attimo!) e fanne il limite
$\lim_{x \to +\infty} \frac{\ln(x+1)}{\ln(2x+3)}$
ovviamente per questa puoi applicare l'Hopital (in paticolare, puoi fare le derivate)
dopodiché, se la funzione ha limite, ce l'ha anche la successione (caratterizzazione del limite mediante le successioni che taluni, traviati, chiamano "teorema ponte")
problemi con questa procedura?
- potrebbe non essere ovvio trovare una f(x) che ti dia la successione data per $x \in NN$. Negli esercizi di analisi 1,2,3,A,B,C,I,II, e simili denominazioni non dovrebbero esserci difficoltà di questo tipo. Tuttavia non sempre basta funziona la ricettina di "cambiare lettera" (esempio: se $f(n)$ fosse il numero dei fattori primi distinti di $n$...)
- se il limite della funzione non c'è, naturalmente potrebbe esserci quello della successione
Quindi, detto terra terra, se anche in teoria non posso usare de l'Hopital, in pratica (in molti casi) trovo il verso di usarlo lo stesso. Grazie per la spiegazione 
Grazie per la spiegazione
"Fioravante Patrone":
[quote="Tipper"]
Visto che ci siamo, vorrei fare una domanda... se devo calcolare, ad esempio, $\lim_{n \to +\infty} \frac{\ln(n+1)}{\ln(2n+3)}$, come $n \in \mathbb{N}$, è sbagliato usare de l'Hopital? Suppongo di sì (anche se penso che alla fine tornerebbe ugualmente), e allora come fare?
basta cambiare lettera
scherzo, ma fino a un certo punto
prendi la funzione di variabile reale corispondente (blackdie, carlo23, e compari: state buoni un attimo!) e fanne il limite
$\lim_{x \to +\infty} \frac{\ln(x+1)}{\ln(2x+3)}$
ovviamente per questa puoi applicare l'Hopital (in paticolare, puoi fare le derivate)
dopodiché, se la funzione ha limite, ce l'ha anche la successione (caratterizzazione del limite mediante le successioni che taluni, traviati, chiamano "teorema ponte")
problemi con questa procedura?
- potrebbe non essere ovvio trovare una f(x) che ti dia la successione data per $x \in NN$. Negli esercizi di analisi 1,2,3,A,B,C,I,II, e simili denominazioni non dovrebbero esserci difficoltà di questo tipo. Tuttavia non sempre basta funziona la ricettina di "cambiare lettera" (esempio: se $f(n)$ fosse il numero dei fattori primi distinti di $n$...)
- se il limite della funzione non c'è, naturalmente potrebbe esserci quello della successione[/quote]
e se ho una successioen con i fattoriali devo usare la funzione che estende il fattoriale in $ RR$? di cui adesso non mi viene il nome
"Supalova10":
e se ho una successioen con i fattoriali devo usare la funzione che estende il fattoriale in $ RR$? di cui adesso non mi viene il nome
non è che "devo usare la funzione" ma puoi usare una funzione, ammesso che ce l'hai a disposizione e che ti serva
(quella di cui non ti viene il nome è la $\Gamma$ di Eulero)
"Fioravante Patrone":
[quote="Supalova10"]
e se ho una successioen con i fattoriali devo usare la funzione che estende il fattoriale in $ RR$? di cui adesso non mi viene il nome
non è che "devo usare la funzione" ma puoi usare una funzione, ammesso che ce l'hai a disposizione e che ti serva
[/quote]
Altrimenti, ci sono altre vie?
intendevo semplicemente dire che:
- "deve-può": uno non è obbligato a seguire questa strada. Può provare a cavarsela senza il passaggio dal discreto al continuo
- "la-una": ovviamente non c'è un'unica funzione che estende $f$ da $NN$ ad $RR$. Neanche se le chiedessimo di essere infinitamente derivabile. Di solito ce n'è una "ovvia" (vedasi l'esempio da cui tutto è partito). O ce n'è una classica (la $\Gamma$ di Eulero). Come dicevo, queste strade normalmente sono abbondantemente sufficienti per trattare gli esercizi d'esame o similari di analisi $x$
- "deve-può": uno non è obbligato a seguire questa strada. Può provare a cavarsela senza il passaggio dal discreto al continuo
- "la-una": ovviamente non c'è un'unica funzione che estende $f$ da $NN$ ad $RR$. Neanche se le chiedessimo di essere infinitamente derivabile. Di solito ce n'è una "ovvia" (vedasi l'esempio da cui tutto è partito). O ce n'è una classica (la $\Gamma$ di Eulero). Come dicevo, queste strade normalmente sono abbondantemente sufficienti per trattare gli esercizi d'esame o similari di analisi $x$
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