Serie

[Archimede87]

Potete aiutarmi con queste serie?

$sum_(n=1)^(+oo) (1-cos(1/n))$

Applico il criterio degli infinitesim moltiplicando per n^(-2)

$lim_(n->oo) (1-cos(1/n))/(1/n^2)$

ma anche qesto è un limite notevole che tende ad 1/2 quindi la serie dovrebbe divergere, invece il testo dice che converge. Dove sbaglio?

$sum_(n=1)^(+oo) logn/n$
Qui non rieco a trovare una minorante.

P.S. Non usate il criterio del confronto asintotico

Grazie anticipatamente

[giuseppe87x]

Non vedo il problema, se il limite viene un numero reale significa che hanno lo stesso comportamento, quindi converge. La seconda la puoi confrontare con la serie armonica.

[Sk_Anonymous]

Dal noto sviluppo della funzione coseno…

$cos x= sum_(k=0)^(oo) (-1)^k* x^(2k)/((2k)!)$ (1)

… si ottiene…

$1-cos(1/n) = sum_(k=1)^(oo) (-1)^(k-1)/(n^(2k)*((2k)!))$ (2)

Sostituendo la (2) nella serie data e scambiando l’ordine di sommatoria si ottiene…

$sum_(n=1)^(oo)* (1-cos(1/n))= sum_(n=1)^(oo)* sum_(k=1)^(oo) (-1)^(k-1)/(n^(2k)*((2k)!))=$

$=sum_(k=1)^(oo) (-1)^(k-1)/((2k)!) sum_(n=1)^(oo) 1/(n^(2k))= sum_(k=1)^(+oo) (-1)^(k-1)/((2k)!)*zeta(2k)$ (3)

… essendo $zeta(x)$ la funzione di Riemann. Per quest’ultima è…

$12$ (4)

… per cui è…

$sum_(n=1)^(oo)* (1-cos(1/n))<2* sum_(n=1)^(oo) 1/((2k)!)=2*(cosh 1-1)$ (2)

La serie data è dunque convergente e la sua somma è data dalla (3)… anche se non molto agevole da calcolare…

cordiali saluti

lupo grigio



An old wolf may lose his teeth, but never his nature

[fireball1]

Più semplicemente, $1-cos(1/n) ~~ 1/(2n^2)$ per $n->+oo$ per cui la serie risulta convergente,
essendo infinitesima di ordine $2>1$ quando $n->+oo$.

[miuemia]

per la seconda serie io applicherei il criterio integrale... credo vada bene e quikndi la serie nn converge...

[Pulcepelosa]

"Archimede87":
$sum_(n=1)^(+oo) logn/n$
Qui non rieco a trovare una minorante.
P.S. Non usate il criterio del confronto asintotico

$1/n

Cita

Segnala