Serie

[Archimede87]

$sum_(n=1)^(oo) 2^n*(1-1/sqrtn)^(n^(3/2))$

La suddetta serie al limite sirulta diversa da zero e quindi, non rispettando la condizione necessaria per la cnvergenza di una serie, essendo la successione generatrice a termini non negativi, dovrebbe convergere. Eppure appllicando il criterio della radice risulta che la serie converge, che è anche il risultato dell'esercizio dato dal testo. Sapreste aiutarmi a risolvere questo lemma?

[_Tipper]

Se il limite per $n \rightarrow +\infty$ del termine generale della serie non fa zero la serie diverge sicuramente.

[_luca.barletta]

quella successione ${a_n}$ tende a zero, quindi la condiz necessaria è verificata

[Archimede87]

$lim_(n->oo) 2^n*(1-1/sqrtn)^(n^(3/2))=lim_(n->oo) 2^n*(1-1/sqrtn)^(sqrtn^(3))=$
$=lim_(n->oo) 2^n*e^(-3)=oo$

[_luca.barletta]

ah, vedo che hai modificato il testo, comunque tende ancora a 0

[Archimede87]

Allora cosa ho sbagliato nel limite?

[_Tipper]

Formalmente sbagli passando al limite sul secondo termine senza passare anche sul primo, tuttavia mi sembra che il risultato sia giusto.

[_luca.barletta]

let's go
$lim_(nrarr+infty) 2^n*(1-1/sqrtn)^(n^(3/2))=lim_(nrarr+infty)e^(n^(3/2)ln(- 1/sqrt(n) + 1) + n*ln(2))=0$

ok?

[Archimede87]

Quindi in questo caso la serie è divergente?

[_luca.barletta]

vedi sopra

[Archimede87]

$lim_(nrarr+infty) 2^n*(1-1/sqrtn)^(n^(3/2))=lim_(nrarr+infty)e^(n^(3/2)ln(- 1/sqrt(n) + 1) + n*ln(2))=e^(oo)=oo$

A me sembra che faccia infinito

[_luca.barletta]

perchè ti fai ingannare dal logaritmo, che tende a $0^-$

[Archimede87]

Appunto, abbiamo una forma indeterminata($oo*0$) che risolta mi dà $oo$

[_luca.barletta]

meno infinito, lo $0^-$ viene specificato apposta

[Archimede87]

Che centra?Il prodotto rimane comunque una forma indeterminata. Poi perchè $0^-$?

[_luca.barletta]

hai uno $0^-$ che proviene dal limite del logaritmo, poi hai la forma $+infty*0^-$, vince l'infinito ma rimane il segno meno portato dallo $0^-$;
$lim_(nrarr+infty) ln(-1/sqrt(n)+1)=ln(1^-)=0^-$

[Archimede87]

Capito. Grazie mille

[MaMo2]

Io l'avrei risolto così:
$lim_(n->oo)2^n(1-1/sqrtn)^(n^(3/2))=lim_(n->oo)2^n(1-1/sqrtn)^(nsqrtn)=lim_(n->oo)2^n((1-1/sqrtn)^sqrtn)^n=lim_(n->oo)(2(1-1/sqrtn)^sqrtn)^(n)=(2/e)^oo=0$

[Sk_Anonymous]

"Archimede87":[Studiare il carattere della serie] $sum_(n=1)^(oo) 2^n*(1-1/sqrtn)^(n^(3/2))$

Sia $a_n = (1-1/sqrtn)^(n^(3/2))$. La serie di potenze $\sum_{n=1}^\infty a_n x^n$ converge all'interno del cerchio del piano complesso di raggio $r = 1/{\lim_{n \to \infty} a_n^(1/n)} = e$ (criterio della radice di Cauchy). Dunque, in particolare, per x = 2.