Serie

[Archimede87]

$sum_(n=1)^(+oo) (log(1+1/(sqrtn))$

Studiare il carattere con uno dei seguenti criteri:confronto, rapporto, radice, infinitesimi.

[_Tipper]

L'argomento della serie è asintotico a $\frac{1}{\sqrt{n}}$, quindi?

[Pulcepelosa]

"Archimede87":$sum_(n=1)^(+oo) (log(1+1/(sqrtn))$

Studiare il carattere con uno dei seguenti criteri:confronto, rapporto, radice, infinitesimi.

$sum_(n=1)^(+oo) 1/sqrtn*log(1+1/(sqrtn))^(sqrtn)$

[Archimede87]

Non ho studiato il criterio asintotico. Comunque potresti dirmi il nome del programma grazie al quale si vedono le formule matematiche? Quell la cui icona è un sigma maiuscolo azzurro.

[_Tipper]

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[Archimede87]

ok grazie mille. TOrnando alla serie se non conosco il criterio del confronto asintotico come faccio a studiarne il carattere?

[Archimede87]

E se volessi studiare il carattere di questa serie con il criterio del confronto?

$sum_(n=1)^(+oo) (cos^2 3^n)/(2^n+sqrtn)$

[Pulcepelosa]

"Archimede87":E se volessi studiare il carattere di questa serie con il criterio del confronto?

$sum_(n=1)^(+oo) (cos^2 3^n)/(2^n+sqrtn)$

$sum_(n=1)^(+oo) |(cos^2 3^n)|/(2^n+sqrtn)<1/2^n$___________ $1/2^n$ è convergente quindi anche la serie converge

[Archimede87]

Ma non riesco a capire perchè quella serie è minore di $1/2^n$

Allora per quanto riguarda questa

$sum_(n=0)^(+oo) (sin^2 n+3)/(n+2)$

[Pulcepelosa]

"Archimede87":Ma non riesco a capire perchè quella serie è minore di $1/2^n$

Tralasciando il coseno, che è una funzione oscillante compresa tra 1 e -1,
a sinistra della disuguaglianza hai al denominatore $sqrtn$ che fa sì che la serie sia sempre leggermennte piu' piccola della serie a destra dell'uguaglianza.

[Pulcepelosa]

In modo analogo puoi risolvere l'ultima che hai scritto

[Archimede87]

$sum_(n=0)^(+oo) (sin^2 n+3)/(n+2)
Siccome la seconda serie è convergente lo sarà anche la prima.
Il libro, però, porta come risultato che la serie diverge

[Pulcepelosa]

"Archimede87":$sum_(n=0)^(+oo) (sin^2 n+3)/(n+2)
Siccome la seconda serie è convergente lo sarà anche la prima.
Il libro, però, porta come risultato che la serie diverge

Infatti $sum_(n=0)^(+oo) 4/(n+2)$ non converge perchè si comporta come $1/n$
Se vuoi dimostrare che diverge devi confrontarla con una Che è sempre piu' piccola ma che diverge.

Al contrario se devi dimostrare che converge, dovrai confrontarla con una che è sempre maggiore ma che converge.

[Archimede87]

Hai ragione perchè così dimostro solo che la serie può convergere per il criterio necessario per la convergenza di una serie. E allora?Come devo procedere?

[Pulcepelosa]

Per esempio:
$sum_(n=0)^(+oo)3/(n+2)<=sum_(n=0)^(+oo) (sin^2 n+3)/(n+2)$
$sum_(n=0)^(+oo)1/(n+2) Le serie a sinistra divergono perché vanno a 0 circa come $1/n$ che sappiamo essere divergente.
Quindi per il teorema dei carabinieri o meglio del carabiniere sinistro, tutte le serie a destra della disuguaglianza divergono anche loro

[Archimede87]

Ok, grazie mille, ho capito. Ora provo con altre.

P.S. Se posso, è per il teorema del confronto:P

[Archimede87]

Aspetta non mi trovo. $1/n$ per $n->oo$ non diverge, ma converge a 0...

[Pulcepelosa]

E' la sommatoria di $1/n$ che è divergente

[Archimede87]

Quindi devo considerare sempre un'altra seire che in questo caso è quella armonica?

[Pulcepelosa]

Esatto.
Per semplicità si confrontano i termini generali della serie, ma poi applichi la serie ai due termini della disuguaglianza ed hai un confronto tra serie.