Serie

[giuseppe87x]

Studiare al variare del parametro reale $x$ la seguente serie:
$sum_(n=1)^(infty)sin(npi/4)x^(2n)$

[fireball1]

Si fa subito col criterio del confronto. Si ha:
$|sin(n pi/4) x^(2n)| <= |x^(2n)|=x^(2n)
dove l'ultima uguaglianza si è potuta
scrivere per il fatto che l'esponente di $x$ è pari.
A questo punto il problema si riduce
a studiare la serie $sum_(n=1)^oo x^(2n)
che si può riportare facilmente ad una serie
geometrica con un cambio di variabile:
$sum_(k=0)^oo x^(2k+2) = x^2 sum_(k=0)^oo (x^2)^k
che risulta convergente per $-1 Questa è condizione sufficiente per la convergenza assoluta
della serie originaria. Adesso bisogna controllare
i casi $x=-1$ e $x=1$, ma si vede subito
che in entrambi i casi la serie non converge.
Quindi la condizione sufficiente diventa anche necessaria
e si ha $sum_(n=1)^oo sin(n pi/4) x^(2n) < +oo <=> -1

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[TomSawyer1]

"Reynolds":A questo punto il problema si riduce
a studiare la serie $sum_(n=1)^oo x^(2n)
che si può riportare facilmente ad una serie
geometrica con un cambio di variabile:
$sum_(k=0)^oo x^(2k+2) = x^2 sum_(k=0)^oo (x^2)^k
che risulta convergente per $-1

Non capisco la necessità di cambiare la variabile. Non si poteva scrivere $-1+sum_(n=0)^infty(x^2)^n$? Che converge per $|x^2|<1=>-1

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[giuseppe87x]

ok mi trovo con il tuo risultato Francesco, anche se l'ho svolto in maniera diversa.

[fireball1]

"Crook":Non si poteva scrivere $-1+sum_(n=0)^infty(x^2)^n$? Che converge per $|x^2|<1=>-1

E' uguale... Personalmente ho preferito fare il cambio di variabile
per ritrovarmi la serie geometrica senza pensarci troppo,
non è che poi sia così tanto macchinoso il cambio di variabile, si fa in un attimo.

[_nicola de rosa]

"giuseppe87x":Studiare al variare del parametro reale $x$ la seguente serie:
$sum_(n=1)^(infty)sin(npi/4)x^(2n)$

e quale è la somma?

[_luca.barletta]

$sum_(n=1)^(infty)sin(npi/4)x^(2n)=1/sqrt(2)sum_(n=0)^(+infty) x^(8n+2)(-1)^n+sum_(n=0)^(+infty) x^(8n+4)(-1)^n+1/sqrt(2)sum_(n=0)^(+infty) x^(8n+6)(-1)^n=1/sqrt(2)x^2/(1+x^8)+x^4/(1+x^8)+1/sqrt(2)x^6/(1+x^8)$

naturalmente nel suo dominio di convergenza

[_nicola de rosa]

io farei così:
$sin(npi/4)=Im(e^(i*npi/4))$ per cui
$sum_(n=1)^(infty)sin(npi/4)x^(2n)=Im[sum_(n=1)^(infty)(x^2e^(ipi/4))^n]=Im[sum_(n=0)^(infty)(x^2e^(ipi/4))^n-1]=Im[sum_(n=0)^(infty)(x^2e^(ipi/4))^n]=Im[1/(1-x^2e^(ipi/4))]$
=$Im[1/((1-1/2sqrt2x^2)-i*1/2sqrt2*x^2)]=Im[((1-1/2sqrt2x^2)+i*1/2sqrtx^2)/(x^4-sqrt2x^2+1)]=(1/2sqrt2*x^2)/(x^4-sqrt2x^2+1)$

[_luca.barletta]

sì, il risultato è lo stesso