Serie

[ottanta4]

Qualcuno può dirmi come sviluppare attorno alle sue singolarità la funzione seguente?
$f(z)=sin(1/(z^2+1))$
Ho provato, per lo sviluppo attorno a z=i, con il cambio di variabile: $w=z-i$
Viene $f(z)=sin(1/(w^2+2iw))$, ma mi sembra di avere colmplicato la situazione ...nn so come continuare...

[Sk_Anonymous]

L’idea di operare una sostituzione è esatta. In un caso del genere, dovendosi trovare lo sviluppo in serie di Laurent di una $f(z)$ nell’intorno di un punto singolare $z=a$, è conveniente porre $w=1/(z-a)$. Volendo $a=j$ [stesso procedimento ovviamente per $a=-j$…] risulta …

$w=1/(z-j)$ -> $1/(1+z^2)=w^2/(1+2*j*w)=g(w)$ (1)

Il procedimento successivo consiste nello sviluppare la funzione originaria $f(z)=f[g(w)]$ in serie di Taylor nell’intorno di $w=0$. Sarà…

$f(w)= f(0)+ w*f’(0)+w^2/(2!)*f^((2))(0)+…+w^n/(n!)*f^((n))(0)+… (2)

per il calcolo della derivata di ordine $n$ che compare nella (2) è necessario conoscere le derivate $f^((n)) [g(w)]$, con...

$f[g(w)]= sin [g(w)]$, $g(w)= w^2/(1+2*j*w)= sum_(k=0)^(+oo) (-2*j)^k*w^(k+2)$ (3)

... e per prtanto calcoliamo da prima le $g^((n))$ in $w=0$…

$g(w)= sum_(k=0)^(+oo) (-2*j)^k*w^(k+2)=0$ per $w=0$

$g’(w)=sum_(k=0)^(+oo) (-2*j)^k*(k+2)*w^(k+1)=0$ per $w=0$

$g^(2)(w)=sum_(k=0)^(+oo) (-2*j)^k*(k+2)*(k+1)*w^k= 2$ per $w=0$

$g^(3)(w)=sum_(k=0)^(+oo) (-2*j)^k*(k+2)*(k+1)*k*w^(k-1)= -2*j*3!$ per $w=0$

………

$g^(n)(w)=sum_(k=n-2)^(+oo) (-2*j)^k*(k+2)*(k+1)*…*(k-n)*w^(k-n+2) =(-2*j)^(n-2)*n!$ per $w=0$ (4)

Ora calcoliamo le derivate della $f[g(w)]$…

$sin[g(w)]= 0$ per $w=0$

$d/(dw) sin[g(w)]= cos[g(w)]*g’(w)=0$ per $w=0$

$d^2/(dw^2) sin[g(w)]= -sin[g(w)]*g’(w)+cos[g(w)]*g^(2)(w)= 2$ per $w=0$

$d^3/(dw^3) sin[g(w)]= -cos[g(w)]*g’(w)^2-sin[g(w)]*g^(2)(w)-sin[g(w)]*g^(2)(w)+cos[g(w)]*g^(3)(w)= -2*j*3!=-12*j$ per $w=0$

$d^4/(dw^4) sin [g(w)] = sin[g(w)]*g’(w)^3-cos[g(w)]*2*g’(w)*g^(2)(w)-2*cos[g(w)]*g’(w)*g^(2)(w)-2*sin[g(w)]*g^(3)-$

$- sin[g(w)]*g’(w)*g^(3)(w)+cos[g(w)]*g^(4)(w)= (-2*j)^2*4!$ per $w=0$ (5)

Fermandosi al quarto termine si ottiene dunque…

$sin (w^2/(1+2*j*w)) = w^2 –2*j*w^3-4*w^4+…$ (6)

… e quindi per la serie originale…

$sin(1/(1+z^2))= 1/((z-j)^2)-(2*j)/((z-j)^3)-4/((z-j)^4)+… $ (7)

Non è da escludere che proseguendo il calcolo si trovi che è…

$sin(1/(1+z^2))= sum_(n=2)^(+oo) (-2*j)^(n-2)/((z-j)^n)$ (8)

Dal momento però che manco da oltre un mese e nel frattempo ci sono state le feste, non è neppure da escludere che nel frattempo sia un poco rincitrullito per cui… meglio che qualche ‘lupo’ più giovane controlli quello che ho scritto e corregga quello che [sicuramente] c’è da correggere…

cordiali saluti…

… e a tutti buon anno!…

lupo grigio



An old wolf may lose his teeth, but never his nature