Serie
Ciao, eccomi di nuovo qui con un altro esercizio:
$sum_(n=1)^infty (2^n(n+1)!)/(3^n)$
Mi blocco addirittura all'inzio, alla verifica della condizione necessaria
imparerò mai?
$sum_(n=1)^infty (2^n(n+1)!)/(3^n)$
Mi blocco addirittura all'inzio, alla verifica della condizione necessaria
imparerò mai?
Risposte
"Ziko":
Ciao, eccomi di nuovo qui con un altro esercizio:
$sum_(n=1)^infty (2^n(n+1)!)/(3^n)$
Mi blocco addirittura all'inzio, alla verifica della condizione necessaria
la serie diverge, basta ricordare l'ordine degli infiniti. il fattoriale ha un ordine di infinito superiore a quello di $(2/3)^n$
Il ragioneamento è questo?
La condizione necessaria affiche la serie converga non è verificata, quindi sicuramente non converge. Dato però che la serie è a termini non negativi se non converge può solo divergere. E' giusto?
La condizione necessaria affiche la serie converga non è verificata, quindi sicuramente non converge. Dato però che la serie è a termini non negativi se non converge può solo divergere. E' giusto?
giusto, diverge a +inf
"nicola de rosa":
la serie diverge, basta ricordare l'ordine degli infiniti. il fattoriale ha un ordine di infinito superiore a quello di $(2/3)^n$
Veramente $(2/3)^n$ non e' un infinito.
Ummm effettivamente $(2/3)^n$ tende a zero.
Però se metto così: $lim _(n->infty) [(n+1)!]/[(3^n)/(2^n)]$ Ottengo che $(n+1)!$ è infinito di ordine superiore rispetto a $(3/2)^n$ e quindi diverge può andare?
Però se metto così: $lim _(n->infty) [(n+1)!]/[(3^n)/(2^n)]$ Ottengo che $(n+1)!$ è infinito di ordine superiore rispetto a $(3/2)^n$ e quindi diverge può andare?
"Ziko":
Ummm effettivamente $(2/3)^n$ tende a zero.
Però se metto così: $lim _(n->infty) [(n+1)!]/[(3^n)/(2^n)]$ Ottengo che $(n+1)!$ è infinito di ordine superiore rispetto a $(3/2)^n$ e quindi diverge può andare?
sì era questo che intendevo, l'ordine di infinito di $(n+1)!$ è superiore a quello di $(3/2)^n$
Ho fatto un'altra serie e volevo sapere se il ragionamento è giusto:
$sum _(n=1)^infty (-2)^n/5^n$
Verifico la condizione necessaria: $lim _(n->infty) (-2)^n/5^n = lim _(n->infty) (-2/5)^n = -infty$ quindi la serie sicuramnte non converge.
Adesso per il criterio di Leibniz studio la parte che non oscilla $lim _(n->infty) 1/5^n$ che tende a zero decresciendo. Quindi la serie converge, è giusto oppure ho toppato quacosa? Grazie!
$sum _(n=1)^infty (-2)^n/5^n$
Verifico la condizione necessaria: $lim _(n->infty) (-2)^n/5^n = lim _(n->infty) (-2/5)^n = -infty$ quindi la serie sicuramnte non converge.
Adesso per il criterio di Leibniz studio la parte che non oscilla $lim _(n->infty) 1/5^n$ che tende a zero decresciendo. Quindi la serie converge, è giusto oppure ho toppato quacosa? Grazie!
"Ziko":
Ho fatto un'altra serie e volevo sapere se il ragionamento è giusto:
$sum _(n=1)^infty (-2)^n/5^n$
Verifico la condizione necessaria: $lim _(n->infty) (-2)^n/5^n = lim _(n->infty) (-2/5)^n = -infty$ quindi la serie sicuramnte non converge.
Adesso per il criterio di Leibniz studio la parte che non oscilla $lim _(n->infty) 1/5^n$ che tende a zero decresciendo. Quindi la serie converge, è giusto oppure ho toppato quacosa? Grazie!
la serie per il criterio di leibniz converge e la sua somma è:
$sum _(n=1)^infty (-2)^n/5^n=sum_{n=0}^{+infty}(-2/5)^n-1=1/(1+2/5)-1=5/7-1=-2/7$
Non credo che lo abbiamo fatto di trovare la somma di una serie, potresti spiegarmi come hai fatto?
"Ziko":
Non credo che lo abbiamo fatto di trovare la somma di una serie, potresti spiegarmi come hai fatto?
l'importante è il fatto che la serie converge per il criterio di leibniz. poi sulla somma della serie ho sfruttato la somma della serie geometrica. conosci la serie geometrica? comunque al di là della somma della serie, l'importante è capire che in questo caso c'è la convergenza.
"Ziko":
Ho fatto un'altra serie e volevo sapere se il ragionamento è giusto:
$sum _(n=1)^infty (-2)^n/5^n$
Verifico la condizione necessaria: $lim _(n->infty) (-2)^n/5^n = lim _(n->infty) (-2/5)^n = -infty$ quindi la serie sicuramnte non converge.
Adesso per il criterio di Leibniz studio la parte che non oscilla $lim _(n->infty) 1/5^n$ che tende a zero decresciendo. Quindi la serie converge, è giusto oppure ho toppato quacosa? Grazie!
ti sei contraddetto, non te ne sei accorto? cmq per le serie a termini di segno alterno devi usare il criterio di Leibniz.
Si è vero, mi sono accorto adesso, ma allora la condizione necessaria non avrebbe dovuto uscir fuori uguale a zero?
quando hai una serie del tipo $sum_(n=0)^(+infty) (-1)^na_n$ devi semplicemente applicare il criterio di Leibniz
L'ultima... almeno per oggi:
$sum _(n=2)^infty 1/sqrt(x)ln(sqrt((n+1)/(n+2)))$
La condizione necessaria è soddisfatta, semplicemente osservando l'ordine degli infiniti. Però non so come compormarmi con il fatto che n parta da 2, ed inoltre non riesco ad andare avanti con lo studio della convergenza.
Grazie!
$sum _(n=2)^infty 1/sqrt(x)ln(sqrt((n+1)/(n+2)))$
La condizione necessaria è soddisfatta, semplicemente osservando l'ordine degli infiniti. Però non so come compormarmi con il fatto che n parta da 2, ed inoltre non riesco ad andare avanti con lo studio della convergenza.
Grazie!
"Ziko":
L'ultima... almeno per oggi:
$sum _(n=2)^infty 1/sqrt(x)ln(sqrt((n+1)/(n+2)))$
La condizione necessaria è soddisfatta, semplicemente osservando l'ordine degli infiniti. Però non so come compormarmi con il fatto che n parta da 2, ed inoltre non riesco ad andare avanti con lo studio della convergenza.
Grazie!
$sqrt((n+1)/(n+2))=sqrt((n+2-1)/(n+2))=sqrt(1-1/(n+2))
per cui
$ln(sqrt(1-1/(n+2))) = 1/2 ln(1-1/(n+2)) ~~ 1/2*(-1/(n+2))=-1/(2(n+2))~~-1/(2n)$ per $n->+oo$
per cui la serie risulta divergente sempre, o meglio, per ogni x tale che abbia senso
scrivere $1/sqrtx$, ovvero $AAx > 0$.
Accidendi, mi sono sbagliato, ho copiato male la serie, quella che volevo era questa:
$sum _(n=2)^infty 1/sqrt(x)ln(sqrt((n-1)/(n+1)))$
comunque grazie anche per l'altra, l'ho usata come esercizio
$sum _(n=2)^infty 1/sqrt(x)ln(sqrt((n-1)/(n+1)))$
comunque grazie anche per l'altra, l'ho usata come esercizio
Il modo di procedere è identico, non cambia assolutamente nulla...
Se al posto di $1/sqrt(x)$ ci fosse stato $1/sqrt(n)$ avrei potuto fare in questo modo?
$1/sqrt(n) ln(sqrt((n-1)/(n+1))) = 1/sqrt(n) 1/2 ln (1-2/(n+1)) ~= -1/(2sqrt(n)) 2/(n+1) ~= -1/(n^(3/2))$
Converge perché $3/2>1$
$1/sqrt(n) ln(sqrt((n-1)/(n+1))) = 1/sqrt(n) 1/2 ln (1-2/(n+1)) ~= -1/(2sqrt(n)) 2/(n+1) ~= -1/(n^(3/2))$
Converge perché $3/2>1$
Certo.
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