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Qualkuno sa aiutarmi A SVOLGERE LA SERIE DEL COS
Risposte
Si parte dalla nota identità algebrica...
$q^n-1= (q-1)*(q^(n-1)+q^(n-2)+...+q+1)= (q-1)*sum_(k=0)^(n-1) q^k$ (1)
Dalla (1) è immediato ricavare...
$sum_(k=0)^(n-1) q^k= (1-q^n)/(1-q)$ (2)
Se $|q|<1$, calcolando il $lim_(n->+oo)$ nella (2) si ha...
$lim_(n->+oo) sum _(k=0)^(n-1) q^k= 1/(1-q)$ (3)
cordiali saluti
lupo grigio
An old wolf may lose his teeth, but never his nature
$q^n-1= (q-1)*(q^(n-1)+q^(n-2)+...+q+1)= (q-1)*sum_(k=0)^(n-1) q^k$ (1)
Dalla (1) è immediato ricavare...
$sum_(k=0)^(n-1) q^k= (1-q^n)/(1-q)$ (2)
Se $|q|<1$, calcolando il $lim_(n->+oo)$ nella (2) si ha...
$lim_(n->+oo) sum _(k=0)^(n-1) q^k= 1/(1-q)$ (3)
cordiali saluti
lupo grigio
An old wolf may lose his teeth, but never his nature
[quote=lupo grigio]Si parte dalla nota identità algebrica...
$q^n-1= (q-1)*(q^(n-1)+q^(n-2)+...+q+1)= (q-1)*sum_(k=0)^(n-1) q^k$ (1)
Dalla (1) è immediato ricavare...
$sum_(k=0)^(n-1) q^k= (1-q^n)/(1-q)$ (2)
Se $|q|<1$, fanendo $n->+oo$ nella (2) si ha...
$lim_(n->+oo) sum _(k=0)^(n-1) q^k= 1/(1-q)$ (3)
cordiali saluti
lupo grigio
Scusami mi puoi spiegare meglio questo passaggio (q-1)*sum_(k=0)^(n-1) q^k$?? La formula qualè?
$q^n-1= (q-1)*(q^(n-1)+q^(n-2)+...+q+1)= (q-1)*sum_(k=0)^(n-1) q^k$ (1)
Dalla (1) è immediato ricavare...
$sum_(k=0)^(n-1) q^k= (1-q^n)/(1-q)$ (2)
Se $|q|<1$, fanendo $n->+oo$ nella (2) si ha...
$lim_(n->+oo) sum _(k=0)^(n-1) q^k= 1/(1-q)$ (3)
cordiali saluti
lupo grigio
Scusami mi puoi spiegare meglio questo passaggio (q-1)*sum_(k=0)^(n-1) q^k$?? La formula qualè?
[quote=lupo grigio]Si parte dalla nota identità algebrica...
$q^n-1= (q-1)*(q^(n-1)+q^(n-2)+...+q+1)= (q-1)*sum_(k=0)^(n-1) q^k$ (1)
Dalla (1) è immediato ricavare...
$sum_(k=0)^(n-1) q^k= (1-q^n)/(1-q)$ (2)
Se $|q|<1$, fanendo $n->+oo$ nella (2) si ha...
$lim_(n->+oo) sum _(k=0)^(n-1) q^k= 1/(1-q)$ (3)
cordiali saluti
lupo grigio
[e poi questo Se $|q|<1$, fanendo $n->+oo$ nella (2) si ha... fenendo???
$q^n-1= (q-1)*(q^(n-1)+q^(n-2)+...+q+1)= (q-1)*sum_(k=0)^(n-1) q^k$ (1)
Dalla (1) è immediato ricavare...
$sum_(k=0)^(n-1) q^k= (1-q^n)/(1-q)$ (2)
Se $|q|<1$, fanendo $n->+oo$ nella (2) si ha...
$lim_(n->+oo) sum _(k=0)^(n-1) q^k= 1/(1-q)$ (3)
cordiali saluti
lupo grigio
[e poi questo Se $|q|<1$, fanendo $n->+oo$ nella (2) si ha... fenendo???
non ho capito bene qualkuno sa spiegarlo meglio???
niente???
Chiedo scusa sia per un errore di ortografia [è stato corretto...], sia per non aver avuto fino ad ora il tempo di tornare sulla domanda...
Allora tutto deriva dalla identità seguente, per dimostrare la quale basta applicare la regola del prodotto tra polinomi...
$q^n-1= (q-1)*(q^(n-1)+q^(n-2)+...+q+1)$ (1)
E' evidente che il fattore 'lungo' al secondo termine altro non è che la somma dei primi $n$ termini di una progressione geometrica $a_k$ di ragione $q$ con termine iniziale $a_0=1$. Alla formula finale si arriva divedendo per $q-1$ i due membri della (1) e calcolando il $lim_(n->+oo)$ del rapporto così ottenuto nell'ipotesi che sia $|q|<1$. Se si condisera che in tale ipotesi è...
$lim_(n->+oo) q^n=0$ (2)
... la cosa è pressocchè immediata...
cordiali saluti
lupo grigio
An old wolf may lose his teeth, but never his nature
Allora tutto deriva dalla identità seguente, per dimostrare la quale basta applicare la regola del prodotto tra polinomi...
$q^n-1= (q-1)*(q^(n-1)+q^(n-2)+...+q+1)$ (1)
E' evidente che il fattore 'lungo' al secondo termine altro non è che la somma dei primi $n$ termini di una progressione geometrica $a_k$ di ragione $q$ con termine iniziale $a_0=1$. Alla formula finale si arriva divedendo per $q-1$ i due membri della (1) e calcolando il $lim_(n->+oo)$ del rapporto così ottenuto nell'ipotesi che sia $|q|<1$. Se si condisera che in tale ipotesi è...
$lim_(n->+oo) q^n=0$ (2)
... la cosa è pressocchè immediata...
cordiali saluti
lupo grigio
An old wolf may lose his teeth, but never his nature
A proposito, ci sarebbe da dire che all'atto di scrivere quando segue...
Alla formula finale si arriva divedendo per $q-1$ i due membri della (1) e calcolando... etc, etc...
... ho dato per assodato che in ogni caso valga l'identità...
$(q-1)/(q-1)=1$ (1)
Per correttezza occore dire che 'qualcuno' sostiene che la (1) non è vera in tutti i casi e pertanto si deve dedurre che secondo questo 'qualcuno' non è vera neppure la formula finale cui si arriva. Tengo a fare questa precisazione perchè sempre lo stesso 'qualcuno' ha accusato lo scrivente nientemeno che di 'fuorviare i giovani studenti'
cordiali saluti
lupo grigio
An old wolf may lose his teeth, but never his nature
Alla formula finale si arriva divedendo per $q-1$ i due membri della (1) e calcolando... etc, etc...
... ho dato per assodato che in ogni caso valga l'identità...
$(q-1)/(q-1)=1$ (1)
Per correttezza occore dire che 'qualcuno' sostiene che la (1) non è vera in tutti i casi e pertanto si deve dedurre che secondo questo 'qualcuno' non è vera neppure la formula finale cui si arriva. Tengo a fare questa precisazione perchè sempre lo stesso 'qualcuno' ha accusato lo scrivente nientemeno che di 'fuorviare i giovani studenti'
cordiali saluti
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