Serie 3

[Tommy85]

Ho questo compito: Determinare l’insieme $I$dei valori del parametro $x$ per cui la serie converge

$\sum_{n=1}^(+oo) (n^2)/(sqrt(n^3)) arcsen(1/n^2) log^n(|x|)\ $
Nn so come procedere...ma prima di tutto è una serie di potenze?

[Noisemaker]

essendo nella forma $\sum a_n x^n$ è una serie di potenze:
\[\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{n^2 }{\sqrt{n^3}}\arcsin \left(\frac{1}{n^2}\right)\cdot\left(\ln|x|\right)^n\]
che è una serie a termini positivi, quindi applicando il rapporto hai che
\[\lim_{n\to+\infty}\frac{\frac{(n+1)^2 }{\sqrt{(n+1)^3}}\arcsin \left(\frac{1}{(n+1)^2}\right)\cdot\left(|\ln|x||\right)^{n+1}}{\frac{n^2 }{\sqrt{n^3}}\arcsin \left(\frac{1}{ n ^2}\right)\cdot\left(|\ln|x||\right)^{n }}=|\ln|x||\]
a questo punto concludi ...

[Tommy85]

"Noisemaker":essendo nella forma $\sum a_n x^n$ è una serie di potenze:
\[\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{n^2 }{\sqrt{n^3}}\arcsin \left(\frac{1}{n^2}\right)\cdot\left(\ln|x|\right)^n\]
che è una serie a termini positivi, quindi applicando il rapporto hai che
\[\lim_{n\to+\infty}\frac{\frac{(n+1)^2 }{\sqrt{(n+1)^3}}\arcsin \left(\frac{1}{(n+1)^2}\right)\cdot\left(|\ln|x||\right)^{n+1}}{\frac{n^2 }{\sqrt{n^3}}\arcsin \left(\frac{1}{ n ^2}\right)\cdot\left(|\ln|x||\right)^{n }}=|\ln|x||\]
a questo punto concludi ...

Quindi se $x>e$ diverge se $x Però perché dice può essere utile ricordare il $lim_(x->0)(arcsen x)/x=1$ ?

[Noisemaker]

converge se $|ln|x||<1$ , dunque se -$e

[*:1wn5a8n7]se $x=\pm e$ la serie diventa:
\[\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{n^2 }{\sqrt{n^3}}\arcsin \left(\frac{1}{n^2}\right)\cdot\left(\ln|-e|\right)^n=\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{n^2 }{\sqrt{n^3}}\arcsin \left(\frac{1}{n^2}\right) \]
serie a termini positivi: applicando il confronto asintotico ottieni:
\[ \frac{n^2 }{\sqrt{n^3}}\arcsin \left(\frac{1}{n^2}\right) \sim\frac{1}{n^{\frac{3}{2}}}\to\mbox{converge}\][/*:m:1wn5a8n7]
[*:1wn5a8n7]se $x=\pm$ la serie diventa:
\[\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{n^2 }{\sqrt{n^3}}\arcsin \left(\frac{1}{n^2}\right)\cdot\left(\ln|-1/e|\right)^n=\sum_{n=1}^{+\infty}(-1)^n\frac{n^2 }{\sqrt{n^3}}\arcsin \left(\frac{1}{n^2}\right) \]
serie a segni alterni : applicando la convergenza assoluta:
\[ \left|(-1)^n\frac{n^2 }{\sqrt{n^3}}\arcsin \left(\frac{1}{n^2}\right)\right| = \frac{n^2 }{\sqrt{n^3}}\arcsin \left(\frac{1}{n^2}\right)\sim\frac{1}{n^{\frac{3}{2}}}\to\mbox{converge assolutamente}\]
[/*:m:1wn5a8n7][/list:u:1wn5a8n7]
in conclusione la serie converge per-$e\lex\le-1/e\cup 1/e\lex\lee$