SERIE

[parallel1]

Non riesco a vedere se questa serie è convergente e per quali valori

$\sum_{n=1}^{+infty}\ (x^n)/((n^2+2n)2^n)

Grazie

[carlo232]

"parallel":Non riesco a vedere se questa serie è convergente e per quali valori

$\sum_{n=1}^{+infty}\ (x^n)/((n^2+2n)2^n)

Grazie

Intanto scriviamo $x=(2^n)y$ così la serie diventa

$\sum_{n=1}^{+infty}\ (y^n)/((n^2+2n))$

sapendo che

$1/(n^2+2n)=(1/2)(1/(n)-1/(n+2))$

la mutiamo in

$\sum_{n=1}^{+infty}\ (y^n)/n-(y^n)/(n+2)$

abbiamo che quindi essa è

$-ln(1-y)-(-ln(1-y)-y-y^2/2)/y^2$

Ciao!

[parallel1]

ma una dimostrazione più "semplice" e con l'indicazione dei valori per i quali converge o meno si può avere ?

Te ne sarei molto grato !

[Sk_Anonymous]

Il problema si tratta in modo assai semplice scrivendo la serie data in maniera leggermente differente...

$sum_(n=1)^(+oo) (x/2)^n 1/(n^2+2n)$ (1)

Ora è facile vedere che per x<=2 la serie converge dal momento che ciascun termine è minore o uguale a $1/(n^2+2n)$, che assicura una serie convergente. Se viceversa è x>2 la serie è divergente poichè il termine generale non tende a 0 per $n->oo$...

cordiali saluti

lupo grigio



An old wolf may lose his teeth, but never his nature