Serie

Apocalisse_1
Eccomi di nuovo :) Ho iniziato a vedere successioni e serie.
Vi scrivo un esercizio da esame che non riesco a risolvere.
Non riesco a semplificare la serie, ne a ricondurla a qualche limite notevole.

SOMMATORIA (n = 1 > +oo) : ((n^2-2)/(n^3+3))^(n^3)

Di questa serie devo:
- Calcolare il limite (ovviamente per n > +oo)
- Studiarne la convergenza

Potreste risolvere questo esercizio per favore?
Ho provato a calcolare il limite e mi dà 1. Anche su Derive esce 1, ma ho i miei dubbi.
Ringrazio anticipatamente! Grazie 1000!

Risposte
Apocalisse_1
Up. Attendo una vostra risposta!

Camillo
Il limite per n che tende all'oo direi che viene 0 .
considera : (n^2-2)/(n^3+3) quando n tende all'00 tende a : n^2/n^3 = 1/n ; adesso va elevato a : n^3 , quindi hai :
1/(n^(n^3)) che tende a 0.

Camillo

Apocalisse_1
Ho sbagliato a scrivere il limite scusami!!

Il limite è:

SOMMATORIA (n = 1 > +oo) : ((n^2-2)/(n^2+3))^(n^3)

Avrei bisogno anche di sapere com'è la convergenza.
Utilizzando il tuo procedimento con il nuovo limite esce che il limite tende a x^2/x^2 e quindi ad 1. elevando 1 alla x^3 esce comunque 1 se non erro.

Però se ho 1....come faccio a sapere se converge? Oppure la cosa è immediata, cioè la serie converge ad 1?

Camillo
Se utilizzi il "mio procedimento" ottieni un classico caso di limite indeterminato del tipo : 1^(00).
Conviene cambiare strada ; considera per ora solo :
(n^2-2)/(n^2+3) e vediamo come modificarlo ( ho in mente che possa saltar fuori il numero "e").
Lo riscrivo così : (n^2+3-5)/(n^2+3) = ( 1+(-5)/(n^2+3)).
Adesso occupiamoci dell'esponente che riscrivo così :
n^3 =(n^2+3)*(n^3)/(n^2+3) .
Ricomponendo tutto il limite ottengo :

[[1+((-5)/(n^2+3))]^(n^2+3)]^(n^3/(n^2+3))
Il limite della parte interna ( fra le quadre più interne )vale:

e^(-5)= 1/e^5 (è un limite noto, se devi calcolare il limite sempre per n che tende all' 00 di ( 1+t/n)^n vale : e^t).
Adesso abbiamo ancora da calcolare il limite di
(1/e^5)^(n^3/(n^2+3)) ; l'esponente tende a + inf e quindi il limite globale a 0.
E' un po' macchinoso ma al momento non ho visto altra strada , che certamente ci sarà.

Camillo

Apocalisse_1
Accidenti!!
Scusa se te lo dico ma sei un genio!!! Sei l'unico che in 2 giorni tra internet e real life mi ha dato un procedimento corretto!

Il procedimento credo che sia proprio quello esatto. Appena ho visto la funzione ho pensato che poteva essere una neperiana ma non riuscivo a capire come farla uscire.

Ascolta, un ultima cosa. Di questa funzione oltre che il limite devo studiare la convergenza. Per studiarla devo prendere l'intera funzione o basta che prendo la parte all'interno delle parentesi, ovvero 1/(e^5) ?

Attendo una risposta, e ringrazio fin d'ora!

Apocalisse_1
UP!

Camillo
Stai tranquillo dopo ti rispondo, credo che sia utile il criterio della radice per vedere la convergenza della serie, intanto prova ad applicarlo tu , si intende a tutta l'espressione, maneggiandola come ho fatto per vedere che il termine n-esimo è infinitesimo.

Camillo

Camillo
Applicando il criterio della radice si tratta di calcolare il limite per n che tende a +00 di :
((n^2-2)/(n^2+3))^(n^3/n) ( radice n-esima di qualcosa = qualcosa ^(1/n), ok?).
Quindi si deve calcolare il limite di ((n^2-2)/(n^2+3))^(n^2) che modifico in modo analogo ai post precedenti arrivando a :

(1+(-5)/(n^2+3))^(n^2+3)*(n^2/(n^2+3)); il limite della prima parte è : 1/e^5 e quindi si deve calcolare il limite di :
(1/e^5)^(n^2/(n^2+3)) = 1/e^5 < 1 quindi la serie converge.

Camillo

Camillo
Per Apocalisse_ : commenti ?, tutto chiaro ?

Camillo

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