Serie

[mica81]

devo studiare l'intervallo di convergenza e determinare l'intervallo di convergenza uniforme della seguente serie di funzioni:

(sqrt(n / (n^2 +1))) * (2x - 2)^n

io ho fatto così.
innanzi tutto la serie è del tipo a(n)x^n quindi possiamo appicare, ad esempio, il criterio del rapporto:

lim a(n+1)/a(n)
n->inf

praticamente ho preso la parte a(n) della serie, ho aggiunto n+1 al posto di n nel numeratore e ho estratto il limite per n tendente ad infinito.
quindi adesso posso dire che: -1< (2x - 2)^n <1
quindi: 1 < 2x < 3
da cui: 1/2 < x < 3/2
quindi l'intervallo di convergenza è: 1/2,3/2
e l'intervallo di convergenza uniforme è: 1/2 < x < 3/2
è giusto il mio ragionamento? grazie!

[mica81]

argh manca un pezzo...
praticamente il limite a me tende a 1.

[Sk_Anonymous]

Hai riconosciuto che si tratta di una serie di potenze, ma non hai usato il Teorema sulle serie di potenze. Non ho capito bene come hai trovato l'intervallo (comunque corretto), visto che il rapporto ti tende a 1.

Luca77
http://www.llussardi.it

[leev]

Mica,suppongo che hai usato il fatto che il raggio di convergenza di queste serie si calcola facendo l'inverso di lim(a(n+1)/a(n)) ?!

Comunque mi ispira abbastanza come soluzione (anke se nn me ne intendo molto)

ciao

L.L

[mica81]

si esatto, ho applicato il criterio del rapporto LEEV.
il limite tende a 1.
per calcolare l'intervallo mi sono riferito ad un esempio presente sul libro su cui ho studiato le serie.
il teorema delle serie di potenze non riesco a capire come applicarlo in questo caso.
voi come fareste?

[Sk_Anonymous]

Continuo a non capire che criterio e' stato usato, ma non importa. Comunque il Teorema fondamentale sulle serie di potenze afferma che una serie di potenze di termine generale a_n (x-x_0)^n converge (uniformemente) se |x-x_0|< R, dove R e' il raggio di convergenza (converge solo puntualmente sul bordo della sfera); per trovare R basta trovare 1/R che e' il limite, per n che tende all'infinito, della radice n-esima di a_n.

La sua applicazione all'esercizio dato e' immediata.

Luca77
http://www.llussardi.it

[leev]

per trovare 1/R puoi usare indistintamente quello (ma nn manca un "sup"? nella tua formula?!) oppure il criterio del quoziente...se nn erro.



L.L

[Sk_Anonymous]

Si e' vero, sarebbe il limsup, e non il limite, poiche' potrebbe non esistere. Davo l'enunciato del Teorema "per gli ingegneri", che non conoscono liminf e limsup.

Luca77
http://www.llussardi.it

[mica81]

luca ho usato il criterio del rapporto pari pari.

comunque che mi dite di questa? (io non ci ho cavato un ragno dal buco...)
(n2^(sqrt(n))-n))* (sqrt x)^n

[Sk_Anonymous]

Si, ma non avevi detto che il rapporto ti tende a 1?

Luca77
http://www.llussardi.it

[Sk_Anonymous]

Per l'altro esercizio: se fai il limite della radice n-esima del termine generale ti dovrebbe venire \sqrt(x), da cui la conclusione, per il criterio della radice.

Luca77
http://www.llussardi.it

[mica81]

luca io ho fatto il limite di n-> infinito di a(n+1)/a(n)
cioè il criterio del rapporto. questo limite tende a 1 ( a me )
quindi poichè si considera il valore assoluto di x,
-1<(2x - 2)<1
almeno il l'ho capito così...
grazie per le risposte!

[leev]

apparentemente quel limite va verso 1....
ma come l'hai calcolato?

Comunque il -1 e 1 che hai, cioè |1|, corrisponde a 1/(lim a(n+1)/a(n)) , cioe al raggio di convergenza.
(il raggio di convergenza cmq in questa serie sarebbe sqrt[1/(lim a(n+1)/a(n))] ,visto ke hai un x^(n/2); xo essendo lim=1, non cambia)

L.L

[mica81]

con la calcolatrice! 0_0'