Serie
Ciao, volevo sapere se il mio ragionamento sul seguente quesito fosse più o meno corretto.
"Sia ${a_n}$ una successione di numeri reali tali che, $\forall n$ naturale, $0
Ciò implica che $lim_{n \to \infty} a_n != 0$ e dunque cade la condizione necessaria, oppure implica altro?
Inoltre se nell'ipotesi vi fosse $0<=a_n<=a_{n+1}$ sarebbe falsa la conclusione?
"Sia ${a_n}$ una successione di numeri reali tali che, $\forall n$ naturale, $0
Ciò implica che $lim_{n \to \infty} a_n != 0$ e dunque cade la condizione necessaria, oppure implica altro?
Inoltre se nell'ipotesi vi fosse $0<=a_n<=a_{n+1}$ sarebbe falsa la conclusione?
Risposte
Dici che ciò implica $\lim_{n \to +\infty}a_n \ne 0$, ma perché? Dove stai usando le ipotesi? Se non ci riporti il tuo ragionamento per esteso, non possiamo stabilire se è corretto. Magari la conclusione è anche corretta, però potrebbero esserci affermazioni false nel mezzo del ragionamento che invalidano la dimostrazione.
Non ho pensato ad una vera e propria dimostrazione perchè era un quesito a crocette, se ne avete una rigorosa mi piacerebbe leggerla.
Il mio ragionamento è stato che la serie, essendo a termini non negativi (positivi), è regolare. Se fosse convergente allora "male che vada" ho pensato ad una successione costante pari ad $a_1$ ed essendo $a_1 >$ 0 il limite non può essere nullo.
Il mio ragionamento è stato che la serie, essendo a termini non negativi (positivi), è regolare. Se fosse convergente allora "male che vada" ho pensato ad una successione costante pari ad $a_1$ ed essendo $a_1 >$ 0 il limite non può essere nullo.
Ciao Albi,
Dividendo per $a_n > 0 $ per ipotesi si ha:
$ a_{n + 1}/a_n \ge 1 > 0 $
Sicché si ha:
$\lim_{n \to +\infty} a_{n + 1}/a_n \ge 1 $
Quindi se il risultato del limite è $L > 1$ in effetti la serie diverge, ma se è $L = 1$ non si può dire se la serie converge o diverge.
Se invece fosse $0 \le a_n \le a_{n + 1}$ allora potrebbe anche essere $a_n = 0 $ e la serie convergerebbe a $0$
"Albi":
$\AA n $ naturale, $0 < a_n \le a_{n + 1}$, allora...
Dividendo per $a_n > 0 $ per ipotesi si ha:
$ a_{n + 1}/a_n \ge 1 > 0 $
Sicché si ha:
$\lim_{n \to +\infty} a_{n + 1}/a_n \ge 1 $
Quindi se il risultato del limite è $L > 1$ in effetti la serie diverge, ma se è $L = 1$ non si può dire se la serie converge o diverge.
Se invece fosse $0 \le a_n \le a_{n + 1}$ allora potrebbe anche essere $a_n = 0 $ e la serie convergerebbe a $0$
Quindi la conclusione è falsa?
Quale conclusione? 
Se ci fai vedere il quesito a crocette con le possibili risposte magari riusciamo ad aiutarti meglio (sempre che non ci siano risposte errate come quelle sul dominio degli integrali doppi che hai proposto di recente... )
Se ci fai vedere il quesito a crocette con le possibili risposte magari riusciamo ad aiutarti meglio (sempre che non ci siano risposte errate come quelle sul dominio degli integrali doppi che hai proposto di recente...
)
"Albi":Sì, per un quesito a crocette può anche andare.
Il mio ragionamento è stato che la serie, essendo a termini non negativi (positivi), è regolare. Se fosse convergente allora "male che vada" ho pensato ad una successione costante pari ad $a_1$ ed essendo $a_1 >$ 0 il limite non può essere nullo.
La dimostrazione rigorosa è altrettanto veloce. Usando la monotonia di $(a_n)_{n\in\mathbb{N})$ e che $a_1>0$, si ha:
$$\sum_{n=1}^\infty a_n =\lim_{N \to +\infty} \sum_{n=1}^N a_n \ge \lim_{N\to+\infty}\sum_{n=1}^N a_1=\lim_{N \to +\infty} Na_1=+\infty$$
Osserva che non hai neanche bisogno dell'esistenza di $\lim_{n\to+\infty} a_n$, quindi si dimostra anche senza considerare la condizione necessaria di convergenza.
Ad esempio per questa serie numerica, che tu stesso hai proposto qualche tempo fa, si ha $0 < a_n < a_{n + 1} $ (per $1 \le n \le 99 $, poi per $n \ge 100 $ la seconda disuguaglianza si inverte, ma non è proprio immediato accorgersene... ): applicando il criterio del rapporto il limite risulta $L = 1$ e quindi non si può dire se la serie converge o diverge. In questo caso quanto
è falso: infatti applicando il criterio del confronto o il criterio del logaritmo si può dimostrare che la serie converge, quindi necessariamente $\lim_{n \to +\infty}a_n = 0 $
): applicando il criterio del rapporto il limite risulta $L = 1$ e quindi non si può dire se la serie converge o diverge. In questo caso quanto "Albi":
Ciò implica che $\lim_{n \to +\infty}a_n \ne 0 $ e dunque cade la condizione necessaria
è falso: infatti applicando il criterio del confronto o il criterio del logaritmo si può dimostrare che la serie converge, quindi necessariamente $\lim_{n \to +\infty}a_n = 0 $
@pillo: Non capisco l'ultimo intervento, se in quell'esempio la disuguaglianza $a_n
Anche perché, nelle ipotesi $0< a_n \le a_{n+1}$ per ogni $n\in\mathbb{N}$ è vero che $\lim_{n \to +\infty} a_n \ne 0$. Questo perché da $00$.
Anche perché, nelle ipotesi $0< a_n \le a_{n+1}$ per ogni $n\in\mathbb{N}$ è vero che $\lim_{n \to +\infty} a_n \ne 0$. Questo perché da $0
Sì hai ragione Mephlip, chiedo scusa: semplicemente non avevo considerato il $\AA n \in \NN $, che è un'ipotesi essenziale.
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