Serie
Come risolvereste questa serie?
$ sum_(n =1 \)2^(1/n)-1 $
$ sum_(n =1 \)2^(1/n)-1 $
Risposte
Con il confronto asintotico.
... Oppure anche col criterio del confronto. Con uno qualsiasi dei due metodi (confronto o confronto asintotico a tua scelta) dovresti riuscire a scoprire facilmente che la serie proposta è divergente.
"pilloeffe":
... Oppure anche col criterio del confronto. Con uno qualsiasi dei due metodi (confronto o confronto asintotico a tua scelta) dovresti riuscire a scoprire facilmente che la serie proposta è divergente.
L'ho trovata stamani all'esame ma non sono riuscito a risolverla.Non riesco ad applicare nessun criterio
L'unica cosa che mi viene in mente
$ 2^(1/n) - 1 <2^(1/n) $e dunque studio 2^(1/n)
Prova un confronto asintotico con $b_n=\frac{1}{n}$.
Non riesco comunque a risolvere il limite
Allora il problema sono i limiti, non le serie 
dovresti fissarli per bene, è un limite abbastanza standard ed è fondamentale che tu sappia trattare limiti di questo tipo.
Prova a scrivere $2^{\frac{1}{n}}=e^{\frac{1}{n} \ln2}$.
dovresti fissarli per bene, è un limite abbastanza standard ed è fondamentale che tu sappia trattare limiti di questo tipo.Prova a scrivere $2^{\frac{1}{n}}=e^{\frac{1}{n} \ln2}$.
"Salvy":
L'ho trovata stamani all'esame ma non sono riuscito a risolverla. Non riesco ad applicare nessun criterio
Vado avanti col confronto, per l'asintotico che ti è già stato suggerito eventualmente ti risponderanno Mephlip o anto_zoolander.
Come dovresti sapere $\AA x \in \RR $ si ha:
$e^x = \sum_{n = 0}^{+\infty} x^n/(n!) = 1 + x + o(x^2) \implies e^x - 1 >= x $
Posto $x := ln2/n $ e tenendo conto del suggerimento che ti ha già dato Mephlip, $ \AA n >= 1 $ si ha:
$ 2^{1/n} - 1 > ln2/n $
A questo punto dovresti essere in grado di concludere...
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