Serie
Ho questa serie che ho risolto ma vorrei conferme, verificare che converga e in caso affermativo determinare la somma:
$\sum_{n=1}^\infty\ (-1)^n 2^n/(3^(n+3))$.
Ora, la serie converge per Leibniz e la somma, secondo questi calcoli è $1/9$: riscrivo la serie come $|2/3|^n 1/(3^3)$, la riconduco ad una serie geometrica dato che $|2/3|<1$ allora la somma è $1/(3^3) 1/(1-2/3)$.
$\sum_{n=1}^\infty\ (-1)^n 2^n/(3^(n+3))$.
Ora, la serie converge per Leibniz e la somma, secondo questi calcoli è $1/9$: riscrivo la serie come $|2/3|^n 1/(3^3)$, la riconduco ad una serie geometrica dato che $|2/3|<1$ allora la somma è $1/(3^3) 1/(1-2/3)$.
Risposte
Ciao Rebb10,
No, attenzione che la serie proposta parte da $n = 1 $ e non da $n = 0 $, per cui la scriverei così:
$ \sum_{n=1}^{+\infty} (-1)^n 2^n/(3^(n+3)) = 1/3^3 \sum_{n=1}^{+\infty} (-1)^n 2^n/3^n = 1/3^3 \sum_{n=1}^{+\infty} (-2/3)^n = 1/3^3 [\sum_{n=0}^{+\infty} (-2/3)^n - 1] = $
$ = 1/3^3 [1/(1 + 2/3) - 1] = 1/3^3 [3/5 - 1] = - 2/135 $
No, attenzione che la serie proposta parte da $n = 1 $ e non da $n = 0 $, per cui la scriverei così:
$ \sum_{n=1}^{+\infty} (-1)^n 2^n/(3^(n+3)) = 1/3^3 \sum_{n=1}^{+\infty} (-1)^n 2^n/3^n = 1/3^3 \sum_{n=1}^{+\infty} (-2/3)^n = 1/3^3 [\sum_{n=0}^{+\infty} (-2/3)^n - 1] = $
$ = 1/3^3 [1/(1 + 2/3) - 1] = 1/3^3 [3/5 - 1] = - 2/135 $
Ahh okok grazie, chiarissimo 
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