Serie

[VALE014]

salve ho questa serie $ sum_(n = \1) ^oo [sin(sinn)]^n $ . dal criterio di convergenza può divergere o convergere. inizialmente avevo pensato al metodo della radile ma non una successione di numeri positivi ma alterni perchè $-1 per cui ho semplicemente ragionato sul limite notevole ovvero $ lim_(n -> oo) sinn/n=0 $ per cui applicando due volte ottengo $0^n$ ovvero $0$ essendo $0<1$sempre la serie data converge sempre. Non so se sia giusta tale ragionamento e se basti ciò per dimostrare la convergenza. Grazie in anticipo

[Sk_Anonymous]

Hai scritto un minestrone incomprensibile.

Un modo per risolvere questo esercizio è usare il criterio della radice in questa forma (i.e. con il \( \limsup \))

[Mathita]

Un altro modo per risolvere l'esercizio consiste nell'uso del criterio di convergenza assoluta e nell'osservare che per ogni $n\in\mathbb{N}, -1\le sin(n)\le 1$ da cui $-\sin(1)\le\sin(\sin(n))\le\sin(1)$ o equivalentemente $|\sin(\sin(n))|\le\sin(1)$.
Elevando a $n$ entrambi i membri ricaviamo la disuguaglianza

$|\sin(\sin(n))|^n\le \sin^n(1)$

Poiché la serie $\sum_{n}\sin^n(1)$ converge (è una serie geometrica di ragione $-1<\sin(1)<1$) allora la serie data converge assolutamente e quindi semplicemente.