Serie
buonasera a tutti ho questa serie da svolgere. $ sum_{n=0}^oo(cospi n)/(n+2) $ . Applico il criterio di necessario di convergenza $ lim_(n -> oo) (cospi n)/(n+2)=0 $ è zero in quando il coseno è limitato per cui un numero su infinito è 0.
ora come la posso continuare?? grazie in anticipo
ora come la posso continuare?? grazie in anticipo
Risposte
Una volta che hai verificato la condizione necessaria di convergenza, si aprono le seguenti strade:
- se il termine generale della serie è a segno costante (sempre positivo o sempre negativo), hai a disposizione il criterio del rapporto, quello della radice, il criterio del confronto, il criterio del confronto asintotico (nota: se la serie è a termini negativi, è sufficiente studiare la serie opposta);
- se il termine generale della serie è a segno variabile, puoi studiare la convergenza assoluta. In particolare se la serie è a segni alterni, allora può essere d'aiuto il criterio di Leibniz.
Ad essere sinceri, esistono altri criteri che però intervengono in casi davvero particolari su cui non voglio soffermarmi per il momento.
Il termine generale della serie in esame è
$a_n=\frac{\cos(n \pi)}{n+2}$
la quale è a segno variabile. Se però osserviamo che
$\cos(n\pi)=(-1)^n\ \ \ \forall n\in\mathbb{N}$
$a_n$ diventa $a_n=\frac{(-1)^n}{n+2}$. In teoria, ora dovresti essere in grado di concludere.
- se il termine generale della serie è a segno costante (sempre positivo o sempre negativo), hai a disposizione il criterio del rapporto, quello della radice, il criterio del confronto, il criterio del confronto asintotico (nota: se la serie è a termini negativi, è sufficiente studiare la serie opposta);
- se il termine generale della serie è a segno variabile, puoi studiare la convergenza assoluta. In particolare se la serie è a segni alterni, allora può essere d'aiuto il criterio di Leibniz.
Ad essere sinceri, esistono altri criteri che però intervengono in casi davvero particolari su cui non voglio soffermarmi per il momento.
Il termine generale della serie in esame è
$a_n=\frac{\cos(n \pi)}{n+2}$
la quale è a segno variabile. Se però osserviamo che
$\cos(n\pi)=(-1)^n\ \ \ \forall n\in\mathbb{N}$
$a_n$ diventa $a_n=\frac{(-1)^n}{n+2}$. In teoria, ora dovresti essere in grado di concludere.
Si grazie mille 
Scusami ho un dubbio. Una volta arrivata ad $ (n+2)/(n+3)<=1/(n+3) $ svolgo il minimo comune multiplo ed ho $n^2+3n+1<=0$ devo fare così? Grazie ancora
Ciao VALE0,
La serie proposta è convergente e se ne può calcolare abbastanza agevolmente anche la somma, infatti si ha:
$ \sum_{n=0}^{+\infty}(cos(\pi n))/(n+2) = \sum_{n=0}^{+\infty}(- 1)^{n}/(n+2) = \sum_{n = 0}^{+\infty}(- 1)^{n + 2}/(n+2) = \sum_{k = 2}^{+\infty}(- 1)^{k}/k = - \sum_{k = 2}^{+\infty}(- 1)^{k + 1} 1/k $
Ricordando che $ ln(1 + x) = \sum_{k = 1}^{+\infty}(- 1)^{k + 1} x^k/k $ per $- 1 < x \le 1 $, ne consegue che si ha:
$- ln 2 = - \sum_{k = 1}^{+\infty}(- 1)^{k + 1} 1/k = - [1 + \sum_{k = 2}^{+\infty}(- 1)^{k + 1} 1/k] = - 1 - \sum_{k = 2}^{+\infty}(- 1)^{k + 1} 1/k $
Quindi in definitiva si ha:
$ \sum_{n=0}^{+\infty}(cos(\pi n))/(n+2) = \sum_{n=0}^{+\infty}(- 1)^{n}/(n+2) = \sum_{n = 0}^{+\infty}(- 1)^{n + 2}/(n+2) = \sum_{k = 2}^{+\infty}(- 1)^{k}/k = - \sum_{k = 2}^{+\infty}(- 1)^{k + 1} 1/k = 1 - ln 2 $
La serie proposta è convergente e se ne può calcolare abbastanza agevolmente anche la somma, infatti si ha:
$ \sum_{n=0}^{+\infty}(cos(\pi n))/(n+2) = \sum_{n=0}^{+\infty}(- 1)^{n}/(n+2) = \sum_{n = 0}^{+\infty}(- 1)^{n + 2}/(n+2) = \sum_{k = 2}^{+\infty}(- 1)^{k}/k = - \sum_{k = 2}^{+\infty}(- 1)^{k + 1} 1/k $
Ricordando che $ ln(1 + x) = \sum_{k = 1}^{+\infty}(- 1)^{k + 1} x^k/k $ per $- 1 < x \le 1 $, ne consegue che si ha:
$- ln 2 = - \sum_{k = 1}^{+\infty}(- 1)^{k + 1} 1/k = - [1 + \sum_{k = 2}^{+\infty}(- 1)^{k + 1} 1/k] = - 1 - \sum_{k = 2}^{+\infty}(- 1)^{k + 1} 1/k $
Quindi in definitiva si ha:
$ \sum_{n=0}^{+\infty}(cos(\pi n))/(n+2) = \sum_{n=0}^{+\infty}(- 1)^{n}/(n+2) = \sum_{n = 0}^{+\infty}(- 1)^{n + 2}/(n+2) = \sum_{k = 2}^{+\infty}(- 1)^{k}/k = - \sum_{k = 2}^{+\infty}(- 1)^{k + 1} 1/k = 1 - ln 2 $
grazie
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