Serie
Buongiorno a voi tutti! 
Ho una dubbio circa le serie e in particolare sul seno.
$ sum(sen1/n^2) $ (con n che va da 1 all'infinito)
è una serie a termini non negativi perché l'argomento del seno è composto da termini positivi essendo n al quadrato?E come facciamo a stabilire che converge?
mentre $ sum(sen1/n) $ è a segno variabile?
Il dubbio amletico è la prima...il seno non è sempre oscillante tra -1 e 1?
Potreste spiegarmi bene perché la prima è a termini positivi?
Grazie a voi tutti, siete sempre molto gentili!
Ho una dubbio circa le serie e in particolare sul seno.
$ sum(sen1/n^2) $ (con n che va da 1 all'infinito)
è una serie a termini non negativi perché l'argomento del seno è composto da termini positivi essendo n al quadrato?E come facciamo a stabilire che converge?
mentre $ sum(sen1/n) $ è a segno variabile?
Il dubbio amletico è la prima...il seno non è sempre oscillante tra -1 e 1?
Potreste spiegarmi bene perché la prima è a termini positivi?
Grazie a voi tutti, siete sempre molto gentili!
Risposte
Ciao! È vero che il seno in generale è una funzione che assume tutti i valori tra $-1$ e $1$, però ovviamente tutto dipende dall'argomento del seno. Se tu consideri come argomento uno dei valori dell'insieme
\begin{equation*}
\left\{\frac{1}{n^2}: n\in \mathbb{N}\right\}= \left\{1, \frac{1}{4}, \frac{1}{9}, \ldots\right\}
\end{equation*}
l'argomento rientra nell'intervallo $(0,1]$, che a sua volta è contenuto nell'intervallo $[0,\pi]$, intervallo in cui la funzione seno assume sempre valori non-negativi. Stesso discorso per l'altra serie che hai scritto. Quindi la non-negatività dei termini della serie non è data dal fatto che ci sia il quadrato nell'argomento del seno, ma dal fatto che quei valori rientrano nell'intervallo $[0,\pi]$ e no in uno degli intervalli $(\pi +2k\pi, 2\pi +2k\pi)$ per $k \in \mathbb{N}$, intervalli in cui la funzione seno assume valori negativi.
\begin{equation*}
\left\{\frac{1}{n^2}: n\in \mathbb{N}\right\}= \left\{1, \frac{1}{4}, \frac{1}{9}, \ldots\right\}
\end{equation*}
l'argomento rientra nell'intervallo $(0,1]$, che a sua volta è contenuto nell'intervallo $[0,\pi]$, intervallo in cui la funzione seno assume sempre valori non-negativi. Stesso discorso per l'altra serie che hai scritto. Quindi la non-negatività dei termini della serie non è data dal fatto che ci sia il quadrato nell'argomento del seno, ma dal fatto che quei valori rientrano nell'intervallo $[0,\pi]$ e no in uno degli intervalli $(\pi +2k\pi, 2\pi +2k\pi)$ per $k \in \mathbb{N}$, intervalli in cui la funzione seno assume valori negativi.
Ciao Mirtillo_84,
Beh, è semplice:
$ \sum_{n = 1}^{+\infty} sin(1/n^2) \le \sum_{n = 1}^{+\infty} 1/n^2 = \pi^2/6 $
Dunque la serie proposta è convergente.
"Mirtillo_84":
E come facciamo a stabilire che converge?
Beh, è semplice:
$ \sum_{n = 1}^{+\infty} sin(1/n^2) \le \sum_{n = 1}^{+\infty} 1/n^2 = \pi^2/6 $
Dunque la serie proposta è convergente.
Grazie a tutti voi, siete stata chiarissimi!!!
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