Serie

[VALE014]

Buongiorno e buona domenica ho un dubbio su una serie, o meglio lo svolgimento del crieterio è ok infatti esce soltando che non ho capito se bisogna fare il limite iniziale e se si come lo posso sviluppare in quanto è una serie con parametro, la serie proposta è la seguente : $ sum_[n=1}^oo (x+3)^n/n^2 $ , l'' ho svolto con il criterio del rapporto ed esce, ma devo fareil limite iniziale?? grazie e buona domenica

[caffeinaplus]

Non ho capito, con limite iniziale intendi la condizione necessaria di convergenza?

[VALE014]

si

[pilloeffe]

Ciao VALE0,

La serie assoluta di quella proposta è la seguente:

$ sum_[n=1}^{+\infty} |x+3|^n/n^2 $

Si ha $ lim_{n \to +\infty} |a_n | = 0 = lim_{n \to +\infty} a_n \iff |x + 3| \le 1 \iff - 4 \le x \le - 2 $, per cui la serie proposta può convergere solo per $ - 4 \le x \le - 2 $
Applicando il criterio del rapporto alla serie assoluta si ha:

$ lim_{n \to +\infty} |frac{a_{n + 1}}{a_n}| = lim_{n \to +\infty} frac{|x + 3|^{n + 1}/(n + 1)^2}{|x + 3|^n/n^2} = |x + 3|$

Dunque in effetti la serie assoluta, e di conseguenza anche la serie proposta, converge per $|x + 3| < 1 $
Vale anche l'uguale a $ 1 $ perché in tali casi si ottengono le due serie seguenti:

$ sum_[n=1}^{+\infty} 1/n^2 = \pi^2/6 $

$ sum_[n=1}^{+\infty} (-1)^n/n^2 = -\pi^2/12 $

Si conclude che la serie iniziale proposta in effetti converge per $|x + 3| \le 1 \iff - 4 \le x \le - 2 $