Serie
buongiorno a tutti ho dei dubbi sul criterio del confronto. ho capito cosa dice ma ho dubbi su come lo uso, penso che lo uso male. ad esempio se io ho : $sum_{n=2}^{+\infty}1/(n^2-n)$
ho visto che è positiva la condizione di convergenza è verificata e uso il confronto perchè ad occhio penso che con gli altri criteri mi complico la vita e lo applico cosi: $sum_{n=2}^{+\infty}1/(n^2-n)~ sum_{n=2}^{+\infty}1/n^2 $
è una serie armonica che converge...è applicato bene?? grazie in anticipo
ho visto che è positiva la condizione di convergenza è verificata e uso il confronto perchè ad occhio penso che con gli altri criteri mi complico la vita e lo applico cosi: $sum_{n=2}^{+\infty}1/(n^2-n)~ sum_{n=2}^{+\infty}1/n^2 $
è una serie armonica che converge...è applicato bene?? grazie in anticipo
Risposte
Ciao VALE0,
No. Il risultato è corretto, ma quella che hai applicato è la stima asintotica, non il criterio del confronto. Se proprio vuoi applicare il criterio del confronto, puoi osservare che si ha:
$ sum_{n=2}^{+\infty}1/(n^2-n) = 1/2 + sum_{n=3}^{+\infty}1/(n^2-n) < 1/2 + sum_{n=3}^{+\infty}1/n^{3/2} $
E l'ultima serie scritta è la serie armonica generalizzata con $\alpha = 3/2 > 1 $ che è convergente. Nel caso specifico poi la serie proposta è una ben nota serie telescopica sul tipo della serie di Mengoli e si ha:
$ sum_{n=2}^{m}1/(n^2-n) = 1 - 1/m $
Quindi è molto semplice determinarne la somma:
$ sum_{n=2}^{+\infty}1/(n^2-n) = lim_{m \to + infty} sum_{n=2}^{m}1/(n^2-n) = lim_{m \to + infty} (1 - 1/m) = 1 $
"VALE0":
è applicato bene??
No. Il risultato è corretto, ma quella che hai applicato è la stima asintotica, non il criterio del confronto. Se proprio vuoi applicare il criterio del confronto, puoi osservare che si ha:
$ sum_{n=2}^{+\infty}1/(n^2-n) = 1/2 + sum_{n=3}^{+\infty}1/(n^2-n) < 1/2 + sum_{n=3}^{+\infty}1/n^{3/2} $
E l'ultima serie scritta è la serie armonica generalizzata con $\alpha = 3/2 > 1 $ che è convergente. Nel caso specifico poi la serie proposta è una ben nota serie telescopica sul tipo della serie di Mengoli e si ha:
$ sum_{n=2}^{m}1/(n^2-n) = 1 - 1/m $
Quindi è molto semplice determinarne la somma:
$ sum_{n=2}^{+\infty}1/(n^2-n) = lim_{m \to + infty} sum_{n=2}^{m}1/(n^2-n) = lim_{m \to + infty} (1 - 1/m) = 1 $
grazie mille,non posso mettere in evidenza al denominatore ed avere $1/(n(n-1))$??
"VALE0":
grazie mille
Prego
"VALE0":
non posso mettere in evidenza al denominatore ed avere $frac{1}{n(n - 1)} $??
Sì che puoi, è proprio così che scopri che è una serie telescopica, infatti si ha:
$frac{1}{n^2 - n} = frac{1}{n(n - 1)} = frac{1}{n - 1} - frac{1}{n} $
ma non possiamo farlo così giusto $sum_{n=2}^{+\infty}1/(n^2-n)~ sum_{n=2}^{+\infty}1/n $ perchè quest'ultima diverge
VALE0, guarda che la stima asintotica del tuo post iniziale è corretta:
$sum_{n=2}^{+\infty}1/(n^2-n) $[tex]\sim[/tex] $ sum_{n=2}^{+\infty} 1/n^2 $
Perché ne vai a cercare altre, che fra l'altro sono sbagliate? L'importante è che tu sappia che si tratta di una stima asintotica (compare il simbolo [tex]\sim[/tex]) e non dell'applicazione del criterio del confronto (dove invece deve comparire uno qualsiasi dei simboli $<$, $\le $ o $> $, $\ge $).
Dato poi che si tratta di una serie telescopica, si vede subito che converge a $1$, infatti dalla relazione
$frac{1}{n^2 - n} = frac{1}{n(n - 1)} = frac{1}{n - 1} - frac{1}{n} $
già citata nel mio post precedente, si ha:
$s_2 = a_2 = 1 - 1/2 $
$s_3 = s_2 + a_3 = 1 - 1/2 + 1/2 - 1/3 = 1 - 1/3 $
$s_4 = s_3 + a_4 = 1 - 1/3 + 1/3 - 1/4 = 1 - 1/4 $
$\vdots $
$s_m = s_{m - 1} + a_m = 1 - frac{1}{m - 1} + frac{1}{m - 1} - 1/m = 1 - 1/m $
Per cui la somma $S$ della serie proposta si trova facilmente:
$ S = sum_{n=2}^{+\infty}1/(n^2-n) = lim_{m \to +\infty} sum_{n=2}^{m} 1/(n^2-n) = lim_{m \to +\infty} s_m = lim_{m \to +\infty} (1 - 1/m) = 1 $
$sum_{n=2}^{+\infty}1/(n^2-n) $[tex]\sim[/tex] $ sum_{n=2}^{+\infty} 1/n^2 $
Perché ne vai a cercare altre, che fra l'altro sono sbagliate? L'importante è che tu sappia che si tratta di una stima asintotica (compare il simbolo [tex]\sim[/tex]) e non dell'applicazione del criterio del confronto (dove invece deve comparire uno qualsiasi dei simboli $<$, $\le $ o $> $, $\ge $).
Dato poi che si tratta di una serie telescopica, si vede subito che converge a $1$, infatti dalla relazione
$frac{1}{n^2 - n} = frac{1}{n(n - 1)} = frac{1}{n - 1} - frac{1}{n} $
già citata nel mio post precedente, si ha:
$s_2 = a_2 = 1 - 1/2 $
$s_3 = s_2 + a_3 = 1 - 1/2 + 1/2 - 1/3 = 1 - 1/3 $
$s_4 = s_3 + a_4 = 1 - 1/3 + 1/3 - 1/4 = 1 - 1/4 $
$\vdots $
$s_m = s_{m - 1} + a_m = 1 - frac{1}{m - 1} + frac{1}{m - 1} - 1/m = 1 - 1/m $
Per cui la somma $S$ della serie proposta si trova facilmente:
$ S = sum_{n=2}^{+\infty}1/(n^2-n) = lim_{m \to +\infty} sum_{n=2}^{m} 1/(n^2-n) = lim_{m \to +\infty} s_m = lim_{m \to +\infty} (1 - 1/m) = 1 $
grazie mille:)
Scusate ma, dopo aver utilizzato il criterio del confronto asintotico, è possibile utilizzare uno degli altri criteri (per esempio cr. della radice o cr. del rapporto) sul termine generale che si è scoperto essere asintotico a quello della serie iniziale?
Con il criterio asintotico ti riconduci ad una serie la cui convergenza implica la convergenza della serie di partenza. Se per stabilirlo devi usare altri criteri, ben venga.
Nota però che nell'applicazione del criterio della radice e del rapporto passi al limite per $n$ all'infinito. Quindi in ogni caso puoi fare uso delle stime asintotiche una volta passato al limite. Come vedi il problema non esiste
Nota però che nell'applicazione del criterio della radice e del rapporto passi al limite per $n$ all'infinito. Quindi in ogni caso puoi fare uso delle stime asintotiche una volta passato al limite. Come vedi il problema non esiste
Hai ragione, grazie. Infatti ho notato che spesso conviene trovare prima la successione asintotica e poi applicare i vari criteri
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo