Serie
buonasera a tutti mi sono appena iscritta:)
a breve ho l'esame di analisi 1 ed ho alcuni dubbi sulle serie. Ovvero nel caso di serie con parametro devo fare sempre il criterio necessario di convergenza. Inoltre come le posso svolgere, ho provato a vedere su internet ma utilizzano Taylor e gli integrali, ma noi non l'abbiamo fatti non sono previsti nei nostro corso di analisi 1.
grazie mille
) 
a breve ho l'esame di analisi 1 ed ho alcuni dubbi sulle serie. Ovvero nel caso di serie con parametro devo fare sempre il criterio necessario di convergenza. Inoltre come le posso svolgere, ho provato a vedere su internet ma utilizzano Taylor e gli integrali, ma noi non l'abbiamo fatti non sono previsti nei nostro corso di analisi 1.
grazie mille
)
Risposte
Ciao VALE0,
Benvenuta sul forum!
Se fai qualche esempio concreto ne possiamo discutere, fermo restando che se cerchi "serie" o "serie con parametro" su questo stesso sito di esempi ne potrai trovare parecchi...
Benvenuta sul forum!
Se fai qualche esempio concreto ne possiamo discutere, fermo restando che se cerchi "serie" o "serie con parametro" su questo stesso sito di esempi ne potrai trovare parecchi...
[ot][/ot]grazie ora scrivo due serie una l'ho svolta ma non so come concludere, la seconda non so proprio come iniziare.
Proverò a trovare anche nel sito come scritto da lei ecco la prima:
$sum_{n=1}^{+\infty}[(2+a)/ (1-a)]^n $.
questa ad esempio l'ho svolto nel seguente modo , ho posto $ t:=[(2a+a)/(1-a)]^n $ , per cui mi ritrovo danti ad una serie geometrico e studio i 3 casi possibili ovvero dove converge, diverge, ed è irregolare. Per cui calcolo queste 3 disequazioni ma non so come concludere; o meglio calcolo la 1°a, la 2° e la 3° e poi come si conclude??
la 2° serie è questa ma non so proprio come partire, nel mio libro vengono svolte con integrali ma noi non possiamo usarli, così come taylor...
$sum_{n=1}^{+\infty} [(x+5)^(2n-1)/(2n*4^n)] $ .
non so proprio come fare, se devo usare comunque il criterio necessario di convergenza ...grazie mille:))
Proverò a trovare anche nel sito come scritto da lei
ecco la prima:$sum_{n=1}^{+\infty}[(2+a)/ (1-a)]^n $.
questa ad esempio l'ho svolto nel seguente modo , ho posto $ t:=[(2a+a)/(1-a)]^n $ , per cui mi ritrovo danti ad una serie geometrico e studio i 3 casi possibili ovvero dove converge, diverge, ed è irregolare. Per cui calcolo queste 3 disequazioni ma non so come concludere; o meglio calcolo la 1°a, la 2° e la 3° e poi come si conclude??
la 2° serie è questa ma non so proprio come partire, nel mio libro vengono svolte con integrali ma noi non possiamo usarli, così come taylor...
$sum_{n=1}^{+\infty} [(x+5)^(2n-1)/(2n*4^n)] $ .
non so proprio come fare, se devo usare comunque il criterio necessario di convergenza ...grazie mille:))
Per la prima sei quasi sulla strada giusta, nel senso che c'è una $a$ ed una $n$ di troppo nella posizione di $t$...
La serie proposta infattì si può scrivere nella forma seguente:
$sum_{n=1}^{+\infty}((2+a)/(1-a))^n = sum_{n=0}^{+\infty}((2+a)/(1-a))^n - 1 $
Posto $t := (2+a)/(1-a) $ si vede subito che quella scritta a destra è una serie geometrica di ragione $t$ che, come dovresti sapere, diverge per $ t \ge 1 $, è irregolare come dici tu (anche se il termine non mi entusiasma...) per $t \le - 1 $ e converge per $|t| < 1 $; in quest'ultimo caso, qualora fossi interessata a trovare i valori di $a$, è necessario risolvere la disequazione seguente:
$|(2+a)/(1-a) | < 1 $
che è verificata per $a < - 1/2 $. Dunque la serie proposta converge per $a < - 1/2 $ ed in tal caso non è difficile determinarne la somma, infatti si ha:
$sum_{n=1}^{+\infty}((2+a)/(1-a))^n = sum_{n=0}^{+\infty}((2+a)/(1-a))^n - 1 = frac{1}{1 - (2+a)/(1-a)} - 1 = frac{1 - a}{- 1 - 2a} - 1 = frac{a - 1}{2a + 1} - 1 = - frac{a + 2}{2a + 1} $
Per quanto riguarda la seconda serie proposta, osserverei che si ha:
$sum_{n=1}^{+\infty} (x+5)^(2n-1)/(2n 4^n) = frac{1}{2(x + 5)} sum_{n=1}^{+\infty} [(x+5)^2/4]^n/n $
Applicando il criterio del rapporto all'ultima serie scritta (che è a termini positivi, grazie al quadrato) si vede che essa converge per $(x + 5)^2 < 4 \implies - 7 < x < - 3 $
Per tali valori di $x$ anche in questo caso è possibile determinare la somma della serie proposta, anche se la faccenda è un po' più laboriosa, ricordando che si ha $ - ln(1 - t) = sum_{n=1}^{+\infty} frac{t^n}{n} $ per $- 1 \le t < 1 $
La serie proposta infattì si può scrivere nella forma seguente:
$sum_{n=1}^{+\infty}((2+a)/(1-a))^n = sum_{n=0}^{+\infty}((2+a)/(1-a))^n - 1 $
Posto $t := (2+a)/(1-a) $ si vede subito che quella scritta a destra è una serie geometrica di ragione $t$ che, come dovresti sapere, diverge per $ t \ge 1 $, è irregolare come dici tu (anche se il termine non mi entusiasma...) per $t \le - 1 $ e converge per $|t| < 1 $; in quest'ultimo caso, qualora fossi interessata a trovare i valori di $a$, è necessario risolvere la disequazione seguente:
$|(2+a)/(1-a) | < 1 $
che è verificata per $a < - 1/2 $. Dunque la serie proposta converge per $a < - 1/2 $ ed in tal caso non è difficile determinarne la somma, infatti si ha:
$sum_{n=1}^{+\infty}((2+a)/(1-a))^n = sum_{n=0}^{+\infty}((2+a)/(1-a))^n - 1 = frac{1}{1 - (2+a)/(1-a)} - 1 = frac{1 - a}{- 1 - 2a} - 1 = frac{a - 1}{2a + 1} - 1 = - frac{a + 2}{2a + 1} $
Per quanto riguarda la seconda serie proposta, osserverei che si ha:
$sum_{n=1}^{+\infty} (x+5)^(2n-1)/(2n 4^n) = frac{1}{2(x + 5)} sum_{n=1}^{+\infty} [(x+5)^2/4]^n/n $
Applicando il criterio del rapporto all'ultima serie scritta (che è a termini positivi, grazie al quadrato) si vede che essa converge per $(x + 5)^2 < 4 \implies - 7 < x < - 3 $
Per tali valori di $x$ anche in questo caso è possibile determinare la somma della serie proposta, anche se la faccenda è un po' più laboriosa, ricordando che si ha $ - ln(1 - t) = sum_{n=1}^{+\infty} frac{t^n}{n} $ per $- 1 \le t < 1 $
grazie mille ho usato irregolare perchè così la denota il mio librohahaha 
ho usato irregolare perchè così la denota il mio librohahaha
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