Serie

[sajhoiseddse]

Ciao, torno con un altro esercizio sulle serie:

$sum_{n=1}^infty (n^3 + 2n)^(1/n) -1$

Ho appurato che soddisfa Cauchy e che il criterio della radice non funziona... poi ho raccolto $n^3$ e sono arrivato a $n^(3/n) -1$ (spero sia corretto fin qui il procedimento) ma poi non so che fare. Suggerimenti?

[Ahornach]

Potremmo osservare innanzitutto che la serie
$$ \sum_{n = 1}^{+\infty} \left( \left( n^3 + 2n \right)^{\frac{1}{n}} - 1 \right) \sim \sum_{n = 1}^{+\infty} n^{\frac{3}{n}} $$
come eri quasi arrivato a concludere.

A questo punto, possiamo notare che
$$ \lim_{n \to +\infty} { n^{\frac{3}{n}} } = 1 $$
quindi la serie non converge.

[sajhoiseddse]

Giusto, nella stima asintotica posso trascurare il -1... invece io ricontrollando Cauchy l'avevo tenuto! Grazie mille

[Ziben]

Ciao,
è un po' che ci penso e non mi torna:
se
$ rootn(n^3+2n) ~ n^{\frac{3}{n}} $
$ \lim_{n \to +\infty} n^{\frac{3}{n}} = 1$

allora anche
$\lim_(n->+\infty)rootn(n^3+2n)=1$

e non credo che si possa trascurare il $-1$ nella stima asintotica. Del resto una stima asintotica $a_n ~ b_n$ è vera se
$\lim_(n->+\infty) a_n/b_n = 1$
ma

$\lim (rootn(n^3+2n)-1)/rootn(n^3+2n) = 0$

Cosa trascuro?