Serie

[Sk_Anonymous]

Salve, vi chiedo come bisogna procedere in questo esercizio perchè non so da dove partire. Se qualcuno mi sa dare una mano sarebbe veramente gentilissimo.
Determinare il raggio di convergenza delle serie e stabilire per quali $ alpha $ la funzione somma è definita e continua in
$ [-R,R] $ .

$ sum_(k=0)^oo x^k/(k^(alpha)+k^(-alpha)) $

Grazie mille

[cooper1]

è una serie di potenze di centro 0. devi studiare il raggio al variare di $ alpha $ e fare in modo che non risulti 0 o infinito così che sia definito come $ [-R,R] $

[Sk_Anonymous]

"cooper":è una serie di potenze di centro 0. devi studiare il raggio al variare di $ alpha $ e fare in modo che non risulti 0 o infinito così che sia definito come $ [-R,R] $

Come posso partire a studiarla?

[cooper1]

devi calcolare normalmente il raggio come in una qualunque altra serie di potenze (lim sup della radice k-esima della successione) soltanto che dipenda dal parametro e devi cioè studiare dei casi particolari di $alpha$ (positivo negativo 0, ecc). se ti è più comodo potresti riscrivere meglio la frazione, magari svolgendo i calcoli. se ancora non ti fosse chiaro prova a postare un inizio di svolgimento e vediamo dove ti blocchi.

[IlPolloDiGödel]

Suggerimento: scrivi $ 1/(k^(alpha)+k^(-alpha)) = k^alpha /(k^(2alpha)+1) $ e poi calcola $lim_(k->+infty) ((k+1)^alpha /((k+1)^(2alpha)+1)) / (k^alpha /(k^(2alpha)+1)) $

EDIT: che poi, forse è una complicazione inutile... comunque va calcolato quel limite, in quale forma ti venga comodo

[Sk_Anonymous]

"cooper":devi calcolare normalmente il raggio come in una qualunque altra serie di potenze (lim sup della radice k-esima della successione) soltanto che dipenda dal parametro e devi cioè studiare dei casi particolari di $alpha$ (positivo negativo 0, ecc). se ti è più comodo potresti riscrivere meglio la frazione, magari svolgendo i calcoli. se ancora non ti fosse chiaro prova a postare un inizio di svolgimento e vediamo dove ti blocchi.

"IlPolloDiGödel":Suggerimento: scrivi $ 1/(k^(alpha)+k^(-alpha)) = k^alpha /(k^(2alpha)+1) $ e poi calcola $lim_(k->+infty) ((k+1)^alpha /((k+1)^(2alpha)+1)) / (k^alpha /(k^(2alpha)+1)) $

EDIT: che poi, forse è una complicazione inutile... comunque va calcolato quel limite, in quale forma ti venga comodo

Ho fatto il limite dividendolo in 3 casi: $alpha>0$, $alpha<0$, $alpha=0$
Nel caso $alpha>0$ e $alpha<0$ mi viene che il limite è $0$. Mentre nel caso di $alpha=0$ mi viene che il limite è $1/2$. Ora cosa devo fare? Grazie a tutti e due dell'aiuto

[cooper1]

scusa ma come ha fatto a venirti 1/2 con $alpha=0$ se sotituendo hai che $a_k=1$?

$ lim_(k->+infty) ((k+1)^alpha /((k+1)^(2alpha)+1)) / (k^alpha /(k^(2alpha)+1)) $

io non l'ho considerato perchè sapevo che si poteva applicare solo se la successione era diversa da zero per tutti i k naturali.

[Sk_Anonymous]

"cooper":scusa ma come ha fatto a venirti 1/2 con $alpha=0$ se sotituendo hai che $a_k=1$?

$ lim_(k->+infty) ((k+1)^alpha /((k+1)^(2alpha)+1)) / (k^alpha /(k^(2alpha)+1)) $

io non l'ho considerato perchè sapevo che si poteva applicare solo se la successione era diversa da zero per tutti i k naturali.

Non ho capito perchè bisogna fare tutto quel casino lì. Tenendo $1/(k^alpha+k^(-alpha))$ vene $1/(1+1)$ se $alpha=0$.
Aah ma scusa non avevo capito che bisognasse usare il criterio del rapporto o della radice. Quindi per $alpha=0$ viene $1$ il limite, giusto?

[cooper1]

viene 1 si. e non capivo come avesse potuto risultarti 1/2. mi sembri però alquanti confuso su come si studia il raggio di convergenza di una serie di potenze. i due modi per poterlo calcolare sono il criterio della radice e quello del rapporto (che nel tuocaso non è possibile usare perchè la successione a_k non è sempre diversa da zero). prova a vedere se questa lezione può esserti d'aiuto.

[Sk_Anonymous]

"cooper":viene 1 si. e non capivo come avesse potuto risultarti 1/2. mi sembri però alquanti confuso su come si studia il raggio di convergenza di una serie di potenze. i due modi per poterlo calcolare sono il criterio della radice e quello del rapporto (che nel tuocaso non è possibile usare perchè la successione a_k non è sempre diversa da zero). prova a vedere se questa lezione può esserti d'aiuto.

Ti ringrazio, ora leggo

[Sk_Anonymous]

Scusami cooper non ho capito una cosa: ma te hai usato il criterio del rapporto? Non ho capito perchè non si può usare. In ogni caso se trovo che $l=1$ mi risulta che $R=1/l=1$. Quindi posso dire che avrò convergenza puntuale in $(-1,1)$. Ora devo analizzare gli estremi di questo intervallo quindi la serie diventa:
$ sum_(k=0)^oo 1^k/(k^(alpha)+k^(-alpha)) $ per $x=1$ e cioè $ sum_(k=0)^oo 1/(k^(alpha)+k^(-alpha)) $.
Ora se studio il limite $ lim_(k->infty) 1/(k^(alpha)+k^(-alpha)) =0 $. E stessa cosa se studio $x=-1$.

[cooper1]

non puoi perchè se k=0 e $alpha>0$ la successione a_k si annulla e se leggi bene il criterio del rapporto nella spiegazioni ti accorgici che non puoi utilizzarlo. in generale comunque se posso uso quel criterio che è più veloce! in questo caso prova la radice. comunque si il ragionamento che hai fatto è tutto corretto. infatti poichè $a_k=1$ ti riduci ad avere una serie geometrica di ragione x che come ben sai converge appunto in quell'insieme.

[Sk_Anonymous]

"cooper":non puoi perchè se k=0 e $alpha>0$ la successione a_k si annulla e se leggi bene il criterio del rapporto nella spiegazioni ti accorgici che non puoi utilizzarlo. in generale comunque se posso uso quel criterio che è più veloce! in questo caso prova la radice. comunque si il ragionamento che hai fatto è tutto corretto. infatti poichè $a_k=1$ ti riduci ad avere una serie geometrica di ragione x che come ben sai converge appunto in quell'insieme.

Perfetto ti ringrazio.

[cooper1]

figurati