Serie

[Bella Chioma]

Ciao a tutti.... mi aiutate a risolvere questa serie per favore?

\(\displaystyle \sum_{k=0}^i [(k+e^k)/(k^3 + 1)]*(x-1)^k \)


N.B.: i = infinito, non sapevo scriverlo...
Determinare:
- il raggio di convergenza e l'insieme di convergenza
- f'''(1), dove f(x) denota la somma della serie

Grazie mille a tutti

[Sk_Anonymous]

Ciao.

Il simbolo dell'infinito si compone con "oo", comunque, anche per altre questioni del genere, basta dare un'occhiatina alla pagina delle [formule][/formule] del forum.

Per venire al problema:

sia $sum_{k=0}^{+oo} [(k+e^k)/(k^3 + 1)]*(x-1)^k=sum_{k=0}^{+oo} a_k*(x-1)^k$.

Si può dimostrare che $lim_{k to +oo} a_k= +oo$ (eventualmente si veda il testo nascosto).

Dimostrazione divergenza di $a_k$.

Si consideri la funzione $f(x)=(x+e^x)/(x^3 + 1)$

Allora, applicando più volte la regola di De l'Hôpital, si ha:

$lim_{x to +oo} (x+e^x)/(x^3 + 1)=lim_{x to +oo} (1+e^x)/(3x^2)=lim_{x to +oo} e^x/(6x)=lim_{x to +oo} e^x/6=+oo$

Quindi: $lim_{k to +oo} a_k= +oo$

Allora il raggio di convergenza della serie risulterebbe essere nullo, quindi la serie convergerebbe solo quando $x=1$.

Spero di essere stato utile.

Saluti.

[Rigel1]

"alessandro8":sia $sum_{k=0}^{+oo} [(k+e^k)/(k^3 + 1)]*(x-1)^k=sum_{k=0}^{+oo} a_k*(x-1)^k$.

Si può dimostrare che $lim_{k to +oo} a_k= +oo$ (eventualmente si veda il testo nascosto).

Allora il raggio di convergenza della serie risulterebbe essere nullo, quindi la serie convergerebbe solo quando $x=1$.

Quanto riportato non è corretto.
Il raggio di convergenza si può calcolare utilizzando la formula di Hadamard
\[
(H) \qquad \frac{1}{R} = \limsup_{n\to +\infty} \sqrt[n]{|a_n|}
\]
(con la solita convenzione \(R = 0\) se il \(\limsup\) è \(+\infty\), \(R = +\infty\) se il \(\limsup\) vale \(0\)).
Se \(a_n\neq 0\) definitivamente ed esiste
\[
\lim_{n\to +\infty} \frac{|a_{n+1}|}{|a_n|}
\]
allora quest'ultimo limite coincide col \(\limsup\) della formula (H) e può essere usato per il calcolo di \(R\).
In questo caso, i due limiti valgono \(e\), per cui il raggio di convergenza della serie è \(R = 1/e\).

Per quanto riguarda la seconda domanda, basta ricordarsi che se
\[
f(x) = \sum_{k=0}^{\infty} a_k (x-x_0)^k
\]
e la serie ha raggio di convergenza positivo, allora
\[
f^{(n)} (x_0) = n!\, a_n.
\]

[Sk_Anonymous]

Hai ragione, Rigel, prima ho scritto proprio una fesseria; sono davvero spiacente.

Chiedo scusa a tutti per la mia madornale svista, chissà come ho fatto a commetterla.
Mi sono dimenticato di applicare il criterio del rapporto o della radice.

Grazie.

Saluti.