Serie
Data la serie $ sum(n=0)^\infty\ ((1-cos(1/n))(e^(1/n)-1)^2)/((log(1+1/n))^2) $, ho visto che vi sono dei limiti notevoli,quindi facendo il limite viene zero, ciò comporta che la serie potrebbe convergere ma qual'è il carattere della serie?
Risposte
Prova ad usare il criterio del confronto asintotico.
in pratica tutta la frazione fratto $1/n^6 $ è uguale a1?
Naaaa. Ragiona sulle singole funzioni:
$$1-\cos\frac{1}{n}\sim\frac{1}{2n^2},\qquad \left(e^{1/n}-1\right)^2\sim\frac{1}{n^2},\qquad \left(\log(1+1/n)\right)^2\sim \frac{1}{n^2}$$
e pertanto
$$a_n\sim\frac{1}{2n^2}$$
(che, tra l'altro, ti serve anche a far vedere che il termine generale è infinitesimo). A questo punto cosa puoi dire?
$$1-\cos\frac{1}{n}\sim\frac{1}{2n^2},\qquad \left(e^{1/n}-1\right)^2\sim\frac{1}{n^2},\qquad \left(\log(1+1/n)\right)^2\sim \frac{1}{n^2}$$
e pertanto
$$a_n\sim\frac{1}{2n^2}$$
(che, tra l'altro, ti serve anche a far vedere che il termine generale è infinitesimo). A questo punto cosa puoi dire?
essendo equivalente all'armonica generalizzata è convergente.
Essendo asintoticamente equivalente alla serie armonica generalizzata di esponente maggiore di uno... (se no mica converge!) 
Le cose vanno dette per bene!
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