Serie
Salve ragazzi...Sapreste aiutarmi con questa serie?
$sum_(n=2)^(oo) (1/((sqrt(n)-1)logn))$
Non mi risulta con nessun criterio
$sum_(n=2)^(oo) (1/((sqrt(n)-1)logn))$
Non mi risulta con nessun criterio
Risposte
osserva anzitutto che la serie è certamente a termini positivi; utilizzando quindi il confronto asintotico hai che
\begin{align}
\frac{1}{(\sqrt n-1)\ln n}\sim\frac{1}{n^{1/2}\ln n} ,
\end{align}
a questo punto dovresti riuscire a conludere utilizzando ad esempio il criterio di condensazione di Cauchy.
\begin{align}
\frac{1}{(\sqrt n-1)\ln n}\sim\frac{1}{n^{1/2}\ln n} ,
\end{align}
a questo punto dovresti riuscire a conludere utilizzando ad esempio il criterio di condensazione di Cauchy.
Grazie intanto per la risposta 
Conoscevo bene il criterio del rapporto, di Raabe e della radice, per questo mi sono bloccato.
Puoi suggerirmi come applicare il criterio di condensazione di Cauchy?
Conoscevo bene il criterio del rapporto, di Raabe e della radice, per questo mi sono bloccato.
Puoi suggerirmi come applicare il criterio di condensazione di Cauchy?
Criterio di condensazione di Cauchy
Sia $\{a_n\}$ una successione a termini positivi decrescenti: $a_0\ge a_1\ge a_2\ge a_3\ge ... a_n\ge ...\ge 0;$
allora $\sum a_n$ converge se e solo se converge la serie $\sum2^na_{2^n}$
nel tuo caso quindi
\begin{align}
\frac{1}{(\sqrt n-1)\ln n}\sim\frac{1}{n^{1/2}\ln n} \stackrel{CC}{\Longrightarrow} \frac{2^n}{n\ln2^n}= \frac{2^n}{ n^2\ln2 }\to \mbox{non converge,}
\end{align}
quindi la serie di partenza non converge.
Ah capito, grazie mille!
Un ultimo dubbio. Se mi si presenta questa serie:
$sum_(n=1)^(+oo) ((logx)^n/(n+3^n))$
È giusto procedere con il criterio della radice o sono fuori strada?
Un ultimo dubbio. Se mi si presenta questa serie:
$sum_(n=1)^(+oo) ((logx)^n/(n+3^n))$
È giusto procedere con il criterio della radice o sono fuori strada?
intanto devi verificae se è una serie a teemini positivi, poichè il criterio della radice lo puoi applicare solo a tali seri; evidentemente questa serie non lo è per la presenza del $ln x;$ basta allora considerare la il modulo del termine generale, in modo da avere una serie a termini positivi:
\begin{align}
\left|\frac{(\ln x)^n}{n+3^n}\right|= \frac{\left|\ln x\right|^n}{n+3^n} ,
\end{align}
e da qui puoi applicare il criterio della radice.
\begin{align}
\left|\frac{(\ln x)^n}{n+3^n}\right|= \frac{\left|\ln x\right|^n}{n+3^n} ,
\end{align}
e da qui puoi applicare il criterio della radice.
Vero, non lo avevo considerato!
Con la radice però mi sono bloccato al denominatore, come potrei fare a risolvere la radice ennesima di $n+3^n$?
Con le serie sono negato xD
Con la radice però mi sono bloccato al denominatore, come potrei fare a risolvere la radice ennesima di $n+3^n$?
Con le serie sono negato xD
Le serie a quel punto sono finite, si tratta di calcolare un limite:
\begin{align}
\lim_{n\to+\infty}\sqrt[n] {\frac{\left|\ln x\right|^n}{n+3^n}}=\lim_{n\to+\infty} \frac{\left|\ln x\right| }{\sqrt[n] {n+3^n}}= \frac{\left|\ln x\right| }{3};
\end{align}
adesso come concludi?
\begin{align}
\lim_{n\to+\infty}\sqrt[n] {\frac{\left|\ln x\right|^n}{n+3^n}}=\lim_{n\to+\infty} \frac{\left|\ln x\right| }{\sqrt[n] {n+3^n}}= \frac{\left|\ln x\right| }{3};
\end{align}
adesso come concludi?
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