Serie

[Maryse1]

Mi potete aiutare su questo esercizio, sinceramente non so da dove iniziare lo svolgimento..

Al variare di $x in R$ discutere la convergenza della serie:

$ sum_(n = \1) ^∞ 2^n/((-1)^n+nx^n $

Prima di tutto osservo che la serie non è a termini positivi e quindi studio la serie del modulo, giusto? Poi, innanzitutto cosa faccio verifico per quali x vale la condizione necessaria o meno?

[ciampax]

Serie numerica con parametro, giusto? In questi casi, conviene cercare di capire quali valori di $x$ siano "discriminanti" per la serie. Ad esempio, puoi vedere facilmente che le cose cambiano a seconda che $x>0$ o $x<0$ e analogamente, a causa della potenza $x^n$, un'altra possibile discriminante si ha per $|x|>1$ o $|x|<1$. Dovresti cercare di analizzare i vari casi e dedurre ciò che accade.

[theras]

A mio avviso, ma procedo a spanne, potrebbe esser interessante notare come $a_n=1/((-1/2)^n+n(x/2)^n)$ $AA n in NN$:
ciò permetterebbe subito di capire che nell'intervallo $I=(-2,2)$,
non essendo verificata la nota condizione necessaria,non può esserci convergenza
(per la parte negativa di tale intervallo, se volessimo esser più precisi,potremmo notare che la serie diventa a termini di segno alterno ed usare qualcuno degli appositi criteri).
Inoltre alla frontiera di $I$ lo studio non è impossibile, dai,
e nella parte superiormente illimitata dell'intervallo esterno ad $I$ la serie è definitivamente a termini positivi
(in tal caso, ad occhio, penserei a Cauchy per stabilirne il carattere.. ):
infine, per gli stessi motivi di prima, in $(-oo,2)$ la serie è a termini di segno alterno,
e mi pare che in tal intervallo siamo nelle condizioni d'usare l'edizione "completa" del criterio di Liebnitz..
Saluti dal web.

[Zero87]

"theras":A mio avviso, ma procedo a spanne, potrebbe esser interessante notare come $a_n=1/((-1/2)^n+n(x/2)^n)$ $AA n in NN$:
ciò permetterebbe subito di capire che nell'intervallo $I=(-2,2)$,
non essendo verificata la nota condizione necessaria,non può esserci convergenza

Diciamo che scrivo più per salutare theras che è un po' che non lo vedo qui (anche io manco spesso ultimamente!). Si poteva anche vedere che
$\frac{2^n}{(-1)^n+nx^n} ~ \frac{2^n}{nx^n} ("meglio se visto come "n(2/x)^n)$
che permetteva di giungere ad identiche conclusioni per quanto riguarda l'intervallo di convergenza (per gli estremi, poi si verifica nel modo classico obviously).