Serie
Per quali $x in R$ la serie numerica converge semplicemente e per quali $x in R$ converge assolutamente
$ sum_(k = 1)^∞ (e^x/(e^x -1))^k1/(root(3)(k) -k^-k $
Allora io ho provato a svolgerla così: Intanto inizio studiando la convergenza assoluta della serie e quindi ho:
$ sum_(k = 1)^∞ |e^x/(e^x -1)|^k1/(root(3)(k) -k^-k $
essendo questa una serie a termini positivi, posso applicare uno dei criteri di convergenza ..ed ho provato usando il criterio della radice trovandomi quindi il limite:
$ lim_(k -> ∞) |e^x/(e^x-1)|1/(k^(1/(3k))+k^(-1)) $
questo limite (a meno che non ho sbagliato) tende a $ |e^x/(e^x-1)| $
e quindi la serie convergerebbe se e solo se $ |e^x/(e^x-1)| <1 $
risolvendo la disequazione, mi esce che converge se x<0
comunque poi, devo anche verificare i casi limite? ovvero quando $ |e^x/(e^x-1)| = +1$ e $ |e^x/(e^x-1)| = -1$
Invece per la convergenza semplice che posso dire? ovviamente so che dove la serie converge assolutamente, convergerà anche semplicemente..ma poi? finito qui?
$ sum_(k = 1)^∞ (e^x/(e^x -1))^k1/(root(3)(k) -k^-k $
Allora io ho provato a svolgerla così: Intanto inizio studiando la convergenza assoluta della serie e quindi ho:
$ sum_(k = 1)^∞ |e^x/(e^x -1)|^k1/(root(3)(k) -k^-k $
essendo questa una serie a termini positivi, posso applicare uno dei criteri di convergenza ..ed ho provato usando il criterio della radice trovandomi quindi il limite:
$ lim_(k -> ∞) |e^x/(e^x-1)|1/(k^(1/(3k))+k^(-1)) $
questo limite (a meno che non ho sbagliato) tende a $ |e^x/(e^x-1)| $
e quindi la serie convergerebbe se e solo se $ |e^x/(e^x-1)| <1 $
risolvendo la disequazione, mi esce che converge se x<0
comunque poi, devo anche verificare i casi limite? ovvero quando $ |e^x/(e^x-1)| = +1$ e $ |e^x/(e^x-1)| = -1$
Invece per la convergenza semplice che posso dire? ovviamente so che dove la serie converge assolutamente, convergerà anche semplicemente..ma poi? finito qui?
Risposte
Non mi risulta che:
\[
\left( \frac{1}{k^{1/3} - k^{-k}}\right)^{1/k} = \frac{1}{k^{1/3k} + k^{-1}}\ \ldots
\]
Ad ogni modo, ragiona sugli addendi prima di applicare i criteri di convergenza.
\[
\left( \frac{1}{k^{1/3} - k^{-k}}\right)^{1/k} = \frac{1}{k^{1/3k} + k^{-1}}\ \ldots
\]
Ad ogni modo, ragiona sugli addendi prima di applicare i criteri di convergenza.
In effetti, ho sbagliato xD .. ho provato col criterio del rapporto..e il limite mi viene in quel modo, ma non so se ho fatto giusto o sbagliato. Cosa intendi con 'ragiona sugli addendi'?..
Quando soddisfano la condizione necessaria alla convergenza?
Quale contributo dà il secondo fattore al soddisfacimento della condizione necessaria?
Rispondendo a queste domande puoi stabilire la convergenza senza applicare alcun criterio.
Quale contributo dà il secondo fattore al soddisfacimento della condizione necessaria?
Rispondendo a queste domande puoi stabilire la convergenza senza applicare alcun criterio.
Il secondo fattore tende sicuramente a zero..
"Maryse":
Il secondo fattore tende sicuramente a zero..
Vabbé... E poi?
E quindi la condizione necessaria viene soddisfatta solamente quando $|e^x/(e^x-1)|<1$ o no?
E va bene... Però preferirei non doverti tirare lo svolgimento fuori dalla bocca con le tenaglie.
Cosa succede nel caso \(\left| \frac{e^x}{e^x -1} \right|<1\)?
E cosa se \(\left| \frac{e^x}{e^x -1} \right|>1\)?
E se \(\left| \frac{e^x}{e^x -1} \right|=1\) che si fa?
Cosa succede nel caso \(\left| \frac{e^x}{e^x -1} \right|<1\)?
E cosa se \(\left| \frac{e^x}{e^x -1} \right|>1\)?
E se \(\left| \frac{e^x}{e^x -1} \right|=1\) che si fa?
Nel primo caso, la serie convergerà assolutamente.. nel secondo caso diverge, e quando quello è = 1 devo controllare se converge semplicemente?
"Maryse":
Nel primo caso, la serie convergerà assolutamente... nel secondo caso diverge
E certo (ovviamente il tutto in valore assoluto).
Ma perché?
"Maryse":
e quando quello è = 1 devo controllare se converge semplicemente?
Nel caso \(=1\) gli addendi tendono ancora a zero... Sta a te stabilire se lo fanno abbastanza rapidamente da far convergere (assolutamente) la serie o no.
Inoltre, se l'argomento del valore assoluto è \(\leq -1\) hai una serie a segni alterni; quindi...
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