Serie
Ciao a tutti, trovo difficoltà nel risolvere l'esercizio : Stabilire il carattere della serie $ sum_1 ^(oo) (-1)^n *((n+1)/(n+3))^(n^2) $ le risposte sono a) assolutamente convergente b) convergente non assolutamente c) indeterminata d)divergente. Ho tutti i teoremi a disposizione per risolverlo, ma nel passare dalla teoria alla pratica faccio una confusione assurda, potreste aiutarmi? Grazie
Risposte
E' una serie a termini con segno alterno, giusto? Quindi, la prima cosa che uno proverebbe a fare è controllare se c'è convergenza assoluta. Proviamo a studiare la serie a termini positivi
\[
\sum_{n=1}^{\infty} \bigg ( \frac{n+1}{n+3} \bigg )^{n^2}.
\]
Come procederesti? Indicaci un po' le carte che pensi di avere a disposizione e quale sarebbe più conveniente usare...
\[
\sum_{n=1}^{\infty} \bigg ( \frac{n+1}{n+3} \bigg )^{n^2}.
\]
Come procederesti? Indicaci un po' le carte che pensi di avere a disposizione e quale sarebbe più conveniente usare...
Per studiare la convergenza assoluta bisogna studiare la serie dei valori assolutie la CN di convergenza è che il limite della successione a_n sia = 0 .
La serie dei valori assoluti è esattamente quella che ho riportato io. Ovviamente, la condizione che citi è solo necessaria alla convergenza. Ciò significa che, qualora essa sia effettivamente soddisfatta, non potrai dire se la serie in questione converge oppure diverge positivamente. Prova allora a controllare se la condizione necessaria è soddisfatta, ma, cosa ben più importante, interrogati su come poter stabilire il carattere della serie. Quali sono gli strumenti di cui disponi per effettuare questo tipo di analisi?
Chiedo scusa per il ritardo ma ho avuto problemi con internet. Comunque facendo il limite $ lim ((n+1)/(n+3))^(n^2) =0 $ ( CN di convergenza ) vuol dire che la risposta esatta potrebbe essere "assolutamente convergente", no?
la condizione, in quanto necessaria, in ti consente di concludere; se applichi alla serie a termini positivi il criterio della radice, ad esempio, alla conclusione arrivi immediatamente:
\begin{align}
\lim_{n\to+\infty}\sqrt[n]{\left(\frac{n+1}{n+3}\right)^{n^2}}=\lim_{n\to+\infty} \left(\frac{n+1}{n+3}\right)^{n }=...
\end{align}
\begin{align}
\lim_{n\to+\infty}\sqrt[n]{\left(\frac{n+1}{n+3}\right)^{n^2}}=\lim_{n\to+\infty} \left(\frac{n+1}{n+3}\right)^{n }=...
\end{align}
Il limite dovrebbe fare $ 1/e^2 $ ed essendo minore di 1 dovrebbe convergere, ora posso affermare con certezza che la serie è ass. convergente?
Vi ringrazio 
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