Serie
Buongiorno, ho la seguente serie di cui devo studiarne il carattere:
$\sum_(n=1)^\infty (1-1/n)^(n^2)$
il limite della condizione necessaria è:
$lim_ (n to \infty)[(1-1/n)^-n]^-n=e^-n=0$ quindi può divergere o convergere,
usando il criterio della radice:
$lim_ (n to \infty)[(1-1/n)^(n^2)]^(1/n)=1/e<1$ ergo converge.
E' possibile vederlo in altri modi? Perchè con il confronto asintotico e con il criterio del rapporto mi blocco un po' (parzialmente è normale perché credo sia stato pensato proprio per il criterio della radice però volevo vederne se ne uscivo fuori anche nell'altro modo).
Grazie mille,
a presto.
$\sum_(n=1)^\infty (1-1/n)^(n^2)$
il limite della condizione necessaria è:
$lim_ (n to \infty)[(1-1/n)^-n]^-n=e^-n=0$ quindi può divergere o convergere,
usando il criterio della radice:
$lim_ (n to \infty)[(1-1/n)^(n^2)]^(1/n)=1/e<1$ ergo converge.
E' possibile vederlo in altri modi? Perchè con il confronto asintotico e con il criterio del rapporto mi blocco un po' (parzialmente è normale perché credo sia stato pensato proprio per il criterio della radice però volevo vederne se ne uscivo fuori anche nell'altro modo).
Grazie mille,
a presto.
Risposte
Visto che hai nominato il confronto asintotico ti propongo lo svolgimento con questo metodo...
$ (1-1/n)^(n^2)=e^(n^2log(1-1/n))=e^(n^2(-1/n+o(1/n)))=e^(-n+o(n))~ (1/e)^n $ la quale è una serie geometrica di ragione $ 1/e<1 $ quindi converge.
$ (1-1/n)^(n^2)=e^(n^2log(1-1/n))=e^(n^2(-1/n+o(1/n)))=e^(-n+o(n))~ (1/e)^n $ la quale è una serie geometrica di ragione $ 1/e<1 $ quindi converge.
Grazie mille è tutto chiaro.
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